Prove: se V e W forem espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim ⁡ W < d i m ⁡ ( V ) , então nenhuma transformação linear T : V → W é injetora.

Passo 1

A gente viu que de acordo com o Teorema 8.2.1 que se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetora.
  2. N u c T = { 0 } .

Então se mostrarmos que   N u c T ≠ { 0 } ou de forma equivalente, se n u l T ≠ 0 , então provaremos a proposição.

Passo 2

Dado que T : V → W , e dim ⁡ W < d i m ⁡ ( V ) , suponha que dim ⁡ W = m e dim ⁡ V = n , como W é o contradomínio e a imagem está contida no contradomínio, quer dizer que a dimensão máxima que a imagem pode chegar é m , p o s ( T ) ≤ m . Logo, podemos aplicar o Teorema 8.1.4 que relaciona a dimensão da imagem p o s T com a dimensão do núcleo n u l T

p o s T + n u l T = N

Onde N é a dimensão do domínio V , que é n

p o s T + n u l T = n

n u l T = n - p o s ( T )

Como p o s T ≤ m , suponha que ele tenha seu valor máximo

n u l T = n - m

O enunciado deu pra gente que dim ⁡ W < dim ⁡ V ⇔ m < n , logo n - m > 0

n u l T > 0

Portanto, como n u l T ≠ 0 , nossa transformação não é injetora.

Resposta

Demonstração

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