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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 9

Prove: se V e W forem espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim ⁡ W < d i m ⁡ ( V ) , então nenhuma transformação linear T : V → W é injetora.

Passo 1

A gente viu que de acordo com o Teorema 8.2.1 que se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes.

  1. T é injetora.
  2. N u c T = { 0 } .

Então se mostrarmos que   N u c T ≠ { 0 } ou de forma equivalente, se n u l T ≠ 0 , então provaremos a proposição.

Passo 2

Dado que T : V → W , e dim ⁡ W < d i m ⁡ ( V ) , suponha que dim ⁡ W = m e dim ⁡ V = n , como W é o contradomínio e a imagem está contida no contradomínio, quer dizer que a dimensão máxima que a imagem pode chegar é m , p o s ( T ) ≤ m . Logo, podemos aplicar o Teorema 8.1.4 que relaciona a dimensão da imagem p o s T com a dimensão do núcleo n u l T

p o s T + n u l T = N

Onde N é a dimensão do domínio V , que é n

p o s T + n u l T = n

n u l T = n - p o s ( T )

Como p o s T ≤ m , suponha que ele tenha seu valor máximo

n u l T = n - m

O enunciado deu pra gente que dim ⁡ W < dim ⁡ V ⇔ m < n , logo n - m > 0

n u l T > 0

Portanto, como n u l T ≠ 0 , nossa transformação não é injetora.

Resposta

Demonstração

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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + y , x - y , 0 )
a) Determinar a transformação linear T :R 3 → R 2 tal que T 1 ,- 1 ,0 = ( 1 ,1 ) , T 0 ,1 ,1 = ( 2 ,2 ) e T 0 ,0 ,1 = ( 3 ,3 ) .b) Achar T ( 1 ,0 ,0 ) e T ( 0 ,1 ,0 ) .
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 4 , T x , y = ( y ,x ,y ,x )
a) Determinar a transformação linear T :R 2 → R 3 tal que T - 1 ,1 = ( 3 ,2 ,1 ) e T 0 ,1 = ( 1 ,1 ,0 ) .b) Encontrar v ∈ R 2 tal que T v = ( - 2 ,1 ,- 3 ) .