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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 1

Em cada parte, encontre N u c ( T ) e determine se a transformação linear é injetora.

  1. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( y ,   x ) .
  2. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( 0 ,   2 x + 3 y ) .
  3. T : R 2 → R 2 , com T x ,   y = ( x + y ,   x - y ) .
  4. T : R 2 → R 3 , com T x ,   y = ( x ,   y ,   x + y ) .
  5. T : R 2 → R 3 , com T x ,   y = ( x - y ,   y - x ,   2 x - 2 y ) .
  6. T : R 3 → R 2 , com T x ,   y ,   z = ( x + y + z ,   x - y - z ) .

Passo 1

Show de bola galera, de acordo com o Teorema 8.2.1, “se T : V → W for uma transformação linear, as afirmações seguintes são equivalentes”

  1. T é injetora
  2. N u c T = { 0 }

Então se descobrirmos o núcleo da transformação e n u l T = 0 , nossa transformação é injetora.

Passo 2

Na letra (a) temos T x ,   y = ( y ,   x ) e

T = A = 0 1 1 0

E N u c ( T ) = ( 0 ,   0 ) , logo n u l T = 0 e nossa transformação é injetora.

Passo 3

Na letra (b), T x ,   y = ( 0 ,   2 x + 3 y ) e

T = A = 0 0 2 3

E a partir da linha 2, temos que 2 x + 3 y = 0 , e x = - 3 2 y . Então N u c T = { - 3 2 ,   1 } e n u l T = 1 . Portanto nossa transformação não é injetora.

Passo 4

Na letra (c) temos T x ,   y = ( x + y ,   x - y ) e

T = A = 1 1 1 - 1

Logo N u c T = ( 0 ,   0 ) e n u l T = 0 , dessa forma a transformação é injetora.

Passo 5

Na letra (d), T x ,   y = ( x ,   y ,   x + y ) e

T = A = 1 0 0 1 1 1

Logo N u c T = ( 0 ,   0 ) e n u l T = 0 , portanto essa transformação é injetora

Passo 6

Na letra (e), T x ,   y = ( x - y ,   y - x ,   2 x - 2 y ) e

T = A = 1 - 1 - 1 1 2 - 2

Logo N u c T = { ( 1 ,   1 ) } e n u l T = 1 , portanto T não é injetora.

Passo 7

Na letra (f) temos T x ,   y ,   z = ( x + y + z ,   x - y - z ) e

T = A = 1 1 1 1 - 1 - 1

Dessa forma N u c T = { 0 ,   1 ,   - 1 } e n u l T = 1 , portanto T não é injetora.

Resposta

  1. N u c T = 0 ,   0 ; T é injetora.
  2. N u c T = { - 3 2 ,   1 } ; T   não é injetora.
  3. N u c ( T ) = ( 0 ,   0 ) ; T é injetora.
  4. N u c ( T ) = ( 0 ,   0 ) ; T é injetora.
  5. N u c T = { ( 1 ,   1 ) } ; T   não é injetora.
  6. N u c T = { 0 ,   1 ,   - 1 } ; T   não é injetora.
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