Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 9

9. Prove que as propriedades seguintes são invariantes de semelhança.

(a) posto

(b) nulidade

(c) invertibilidade

Passo 1

(a) Vale lembrar que o posto de uma matriz é igual ao número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Por outro lado, se todas as linhas da matriz forem linearmente indepentes, então o determinante vai ser diferente de zero. E como o determinante de matrizes semelhantes é igual, então o posto também vai ser igual. Portanto, é invariante de semelhança.

Passo 2

(b) A gente sabe que o número de colunas é igual em matrizes semelhantes... E pelo teorema de núcleo e imagem, o número de colunas é igual ao posto mais a nulidade. Como o posto é igual, então a nulidade também é igual. Portanto, é invariante de semelhança.

Passo 3

(c) Pra uma matriz ser invertível, o seu determinante tem que ser diferente de zero. Como matrizes semelhantes têm o determinante igual, então a invertibilidade também será igual. Portanto, é invariante de semelhança.

Resposta

(a) Posto é invariante de semelhança.

(b) Nulidade é invariante de semelhança.

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