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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 11

11. Em cada parte, encontre uma base em R 2 em relação à qual a matriz de T é diagonal.

(a) T x 1 x 2 = x 1 - x 2 2 x 1 + 4 x 2

(b) T x 1 x 2 = 4 x 1 - x 2 - 3 x 1 + x 2

Passo 1

(a) Primeiro vamos representar a matriz relativa à base B :

T B = 1 - 1 2 4

Vamos achar os autovalores dessa matriz:

det ⁡ λ - 1 1 - 2 λ - 4 = 0

λ = 3   o u   λ = 2

E agora os autovetores correspondentes: 1 - 1 e 1 - 2

Então:

P = 1 1 - 1 - 2

Essa já é a base que queremos:

B ' = 1 - 1 , 1 - 2

E T B ' é a matriz diagonal.

Conferindo:

T B ' = P - 1 T B P = 2 0 0 3

Passo 2

(b) Primeiro vamos representar a matriz relativa à base B :

T B = 4 - 1 - 3 1

Vamos achar os autovalores dessa matriz:

det ⁡ λ - 4 - 1 3 λ - 1 = 0

λ = 5 - 21 2

E agora os autovetores correspondentes: - 3 - 21 6 1 e - 3 + 21 6 1

Então:

P = - 3 - 21 6 - 3 + 21 6 1 1

Essa já é a base que queremos:

B ' = - 3 - 21 6 1 , - 3 + 21 6 1

E T B ' é a matriz diagonal.

Conferindo:

T B ' = P - 1 T B P = 5 + 21 2 0 0 5 - 21 2

Resposta

(a) B ' = 1 - 1 , 1 - 2

(b) B ' = - 3 - 21 6 1 , - 3 + 21 6 1

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