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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 8

8. Em cada caso, encontre det ⁡ T .

(a) T : R 2 → R 2 , sendo

T x 1 , x 2 = 3 x 1 - 4 x 2 , - x 1 + 7 x 2

(b) T : R 3 → R 3 , sendo

T x 1 , x 2 , x 3 = x 1 - x 2 , x 2 - x 3 , x 3 - x 1

(c) T : P 2 → P 2 , sendo

T p x = p x - 1

Passo 1

Como não tem nada especificado, vamos tomar a base canônica, então:

(a)

T B = 3 - 4 - 1 7

Então:

det ⁡ T B = 3 7 - - 1 - 4

det ⁡ T B = 17

Passo 2

(b)

T B = 1 0 - 1 - 1 1 0 0 - 1 1

Então:

det ⁡ T B = 0

Passo 3

(c) Então: usando a base B = 1 , x , x 2

T 1 = 1

T x = x - 1

T x 2 = x 2 - 2 x + 1

Portanto,

T 1 B = 1 0 0

T x B = - 1 1 0

T 1 B = 1 - 2 1

Então:

T B = 1 - 1 1 0 1 - 2 0 0 1

E, finalmente, como é uma matriz triangular (para nossa alegria):

det ⁡ T B = 1

Resposta

(a) det ⁡ T B = 17

(b) det ⁡ T B = 0

(c) det ⁡ T B = 1

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20. Se A e B forem matrizes semelhantes, digamos, B = P - 1 A P , então segue do Exercício 19 que A e B têm os mesmos autovalores. Suponha que λ seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor
17. Sejam C e D matrizes m × n e B = v 1 , v 2 , … , v n uma base de um espaço vetorial V . Mostre que se C x B = D x B , qualquer que seja x em V , então C = D .
15. Seja λ um autovalor de um operador linear T : T → V . Prove que os autovetores de T associados a λ são os vetores não nulos no núcleo de λ I - T .
14. Seja T : M 22 → M 22 definido por: T a b c d = 2 c a + c b - 2 c d (a) Encontre os autovalores de T .(b) Encontre bases dos autoespaços de T .
19. Complete a prova dada justificando cada passo.Hipótese: A e B são matrizes semelhantes.Conclusão: A e B têm o mesmo polinômio característico.Prova: det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - P - 1 A P = det ⁡ λ