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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 13

13. Seja T : P 2 → P 2 definido por T a 0 + a 1 x + a 2   x 2 = 5 a 0 + 6 a 1 + 2 a 2 - a 1 + 8 a 2 x + a 0 - 2 a 2 x 2

(a) Encontre os autovalores de T .

(b) Encontre bases dos autoespaços de T .

Passo 1

(a) Vamos separar as letrinhas iguais:

T a 0 + a 1 x + a 2   x 2 = 5 a 0 + 6 a 1 + 2 a 2 - a 1 x - 8 a 2 x + a 0 x 2 - 2 a 2 x 2

T a 0 + a 1 x + a 2   x 2 = a 0 5 + x 2 + a 1 6 - x + a 2 2 - 8 x - 2 x 2

Então:

T 1 = 5 + x 2

T x = 6 - x

T x 2 = 2 - 8 x - 2 x 2

Então:

T B = 5 6 2 0 - 1 - 8 1 0 - 2

E pra achar os autovalores:

det ⁡ λ - 5 - 6 - 2 0 λ + 1 - 8 - 1 0 λ + 2 = 0

λ - 5 λ + 1 λ + 2 + - 6 - 8 - 1 - - 1 λ + 1 - 2 = 0

λ - 5 λ + 1 λ + 2 + 48 - 2 λ + 1 = 0

Então os autovalores são:

λ = - 4 , λ = 3

Passo 2

(b) Para λ = - 4 , o autoespaço correspondente é: - 6 8 3

E na forma polinomial: - 6 + 8 x + 3 x 2

Para λ = 3 , o autoespaço correspondente é: 5 - 2 1

E na forma polinomial: 5 - 2 x + x 2

Resposta

(a) λ = - 4 , λ = 3

(b)

- 6 8 3 , 5 - 2 1

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