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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 33

Prove que a quádrica Ω : z = l - x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 é um parabolóide hiperbólico.

Passo 1

Primeiro, vamos relembrar a equação reduzida de um paraboloide hiperbólico. Se dissermos que ele tem o eixo O z como eixo de simetria, ele será dado por uma das duas equações:

z = x 2 a 2 - y 2 b 2

z = - x 2 a 2 + y 2 b 2

Nosso trabalho será exatamente transformar a equação dada no enunciado da questão em alguma dessas duas formas. Para isto, vamos ter que fazer uma mudança no nosso sistema de coordenadas, uma translação.

Passo 2

Para que possamos fazer uma translação, precisamos deixar a nossa equação o mais próximo possível do formato da equação reduzida.

Para isto, vamos passar o l para o primeiro membro. Portanto,

z - l = - x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2

Agora, vamos mudar o sistema. Portanto, se:

u = x - h v = y - k w = z - l

Vamos ter a seguinte equação:

w = - u 2 a 2 + v 2 b 2

E assim acabamos de provar que temos um parabolóide hiperbólico. é importante ressaltar que não importa o sistema de coordenada que estamos trabalhando, o importante é obter a equação reduzida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
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