Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 7
Mostre que toda quádrica cônica é uma superfície cônica.
Passo 1
Bom, vamos resolver esta questão da seguinte forma: dada uma curva diretriz e um vértice , vamos obter a superfície cônica e provar que ela é exatamente uma quádrica cônica.
Iremos fazer isto apenas para um caso. Por generalização, iremos comprovar que toda quádrica cônica é uma superfície cônica. Sendo assim, nosso objetivo é chegar a quádrica .
Para isto, teremos a seguinte curva diretriz:
E vértice .
Passo 2
Agora, podemos ir as contas. Para isto, precisamos montar um sistema de equação que caracteriza a superfície .
Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .
Portanto, se pertence a , temos:
E, se , também temos:
Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,
Passo 3
Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:
Isolando na segunda equação, temos:
Se . Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:
Portanto, a solução é:
Solução esta que já contém o vértice , pois, ao multiplicar toda a equação por , retiramos este termo do denominador e incluímos a solução .
Agora, percebam que esta superfície cônica é exatamente igual a quádrica cônica que definimos no início da questão. Portanto, generalizando o raciocínio, toda superfície cônica corresponde a uma quádrica cônica.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)