Prove:

a) ( 2 vec u + vec w , vec u - vec v , vec v + vec w ) é LI <=> ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) é LI.

b) ( 2 vec u + vec w , vec u - vec v , vec v + vec w ) é LD <=> ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) é LD.

Passo 1

Fala meu querido, nessa questão vamos ter que fazer algumas demonstrações, então fica ligado e vamos nessa!

Passo 2

a) Para resolver esse item vamos testar primeiro se o nosso lado direito da nossa proposição é verdade.

Para que ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) seja LI, devemos ter alpha = beta = gamma = 0 no seguinte sistema:

alpha (vec u - vec w) + beta (vec u + vec v) + gamma (vec u + vec w) = ( 0 , 0 , 0 )

Fazendo o chuveirinho:

alpha vec u - alpha vec w + beta vec u + beta vec v + gamma vec u + gamma vec w = ( 0 , 0 , 0 )

Agrupando os termos:

vec u (alpha + beta + gamma) + vec v (beta) + vec w (- alpha + gamma) = ( 0 , 0 , 0 )

Pela nossa proposição temos que ( 2 vec u + vec w , vec u - vec v , vec v + vec w ) é LI, e com as informações que tiramos a cima podemos montar o sistema:

{[[alpha + beta + gamma = 0],[beta = 0],[- alpha + gamma = 0]])

Cuja única solução é alpha = beta = gamma = 0 . Logo, o conjunto ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) é LI.

Passo 3

b) Novamente para resolver esse item vamos primeiro testar se o nosso lado direito da nossa proposição é verdadeiro.

Para que ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) seja LD, devemos ter alpha , beta , gamma != 0 , no seguinte sistema:

alpha (vec u - vec w) + beta (vec u + vec v) + gamma (vec u + vec w) = ( 0 , 0 , 0 )

Fazendo o chuveirinho:

alpha vec u - alpha vec w + beta vec u + beta vec v + gamma vec u + gamma vec w = ( 0 , 0 , 0 )

Agrupando os termos:

vec u (alpha + beta + gamma) + vec v (beta) + vec w (- alpha + gamma) = ( 0 , 0 , 0 )

Como pela nossa proposição consideramos que ( 2 vec u + vec w , vec u - vec v , vec v + vec w ) é LD, com as informações a cima podemos montar o sistema:

{[[alpha + beta + gamma = 0],[beta != 0],[- alpha + gamma = 0]])

Onde podemos afirmar que beta != 0 , por causa do lado esquerdo da nossa proposição, então só existe solução possível se alpha , beta , gamma != 0 . Portanto o conjunto ( vec u - vec w , vec u + vec v , vec u + vec w ) é LD.

Resposta

Demonstração.

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