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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas Propostos - Ex. 2f

Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa.

x 2 + 4 z 2 - 8 y = 0

Passo 1

O primeiro passo para reduzir uma equação na forma canônica é fazer com que os termos de maior grau fiquem isolados de termos de menor grau.

Sendo a nossa equação :

x 2 + 4 z 2 - 8 y = 0

Isolando:

x 2 + 4 z 2 = 8 y

Dividindo por 4 :

x 2 4 + z 2 1 = 2 y

O próximo passo é analisar as fórmulas propostas pelo livro no capítulo 8 e fazer uma comparação superficial , para dizer qual o tipo da nossa equação.

Passo 2

De acordo com o capítulo 8, nós temos aqui a equação de uma Parábola. Se nas equações um dos termos de tiverem sinais iguais, a equação representa um parabolóide elíptico:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z

Dessa forma, nossa equação:

x 2 4 + z 2 1 = 2 y

Passo 3

Como b > 0 , a superfície é situada acima do plano x O z , temos uma estrutura que aumenta o tamanho a medida que se afasta do plano. Os traços nos planos x = k e y = k são parábolas:

Já para o gráfico em 2D no plano xy temos:

Resposta

Parabolóide elíptico,   x 2 4 + z 2 1 = 2 y

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