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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 b

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

x 2 + 4 y 2 + 8 x - 8 y - 4 z + 28 = 0

Podemos subtrair 28 de cada lado:

x 2 + 4 y 2 + 8 x - 8 y - 4 z = - 28

Reorganizando, temos:

x 2 + 8 x + 4 y 2 - 8 y - 4 z = - 28

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

x 2 + 8 x + 4 y 2 - 8 y - 4 z = - 28

Reorganizando:

x 2 + 8 x + 4 y 2 - 2 y - 4 z = - 28

Temos x 2 e y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a e b .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

x 2 + 8 x + a 2 + 4 y 2 - 2 y + b 2 - 4 z = - 28 + a 2 + 4 b 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para x :

x 2 + 8 x + a 2 = x - a 2

8 x = 2 a x

a = 4

Para y :

y 2 - 2 y + b 2 = x + b 2

- 2 y = 2 b y

b = - 1

Voltando para nossa equação:

x 2 + 8 x + a 2 + 4 y 2 - 2 y + b 2 - 4 z = - 28 + a 2 + 4 b 2

Vamos substituir nossos valores de a e b :

x 2 + 8 x + 4 2 + 4 y 2 - 2 y + - 1 2 - 4 z = - 28 + 4 2 + 4 - 1 2

x 2 + 8 x + 16 + 4 y 2 - 2 y + 1 - 4 z = - 28 + 16 + 4

x 2 + 8 x + 16 + 4 y 2 - 2 y + 1 - 4 z = - 8

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

x + 4 2 + 4 y - 1 2 - 4 z = - 8

Mas ainda não encontramos nosso match, então precisamos mudar algo na equação. Vamos comar 4 z de ambos os lados:

x + 4 2 + 4 y - 1 2 = - 8 + 4 z

Vamos colocar o 4 em evidência:

x + 4 2 + 4 y - 1 2 = 4 - 2 + z

Vamos dividir toda a equação por 4 :

x + 4 2 4 + 4 y - 1 2 4 = 4 - 2 + z 4

x + 4 2 4 + y - 1 2 1 = - 2 + z

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra a equação do paraboloide elíptico:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C .

O centro será os valores que zeram o lado direito, então:

C = - 4,1 , 2

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas oito, bora resolve-las?

Resposta

Oaraboloide elíptico, com centro - 4,1 , 2 e paralelo ao eixo O z .

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