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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 7 b

7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .

Passo 1

(b) Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x^' y^' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

[[[x^'],[y^']]] = P^(- 1) [[[x],[y]]]

[[[x],[y]]] = P [[[x^'],[y^']]]

Onde

P = [[[cos theta,-,sen theta],[sen theta,cos theta]]]

Passo 2

Calculando o sen theta e cos theta

sen (pi)/(3) = (sqrt(3))/(2)

cos (pi)/(3) = (1)/(2)

Passo 3

Retornando para

[[[x],[y]]] = P [[[x^'],[y^']]]

Reescrevendo

[[[x],[y]]] = [[[cos theta,-,sen theta],[sen theta,cos theta]]] * [[[x^'],[y^']]]

Substituindo os valores temos

[[[x],[y]]] = [[[(1)/(2),-,(sqrt(3))/(2)],[(sqrt(3))/(2),(1)/(2)]]] * [[[5],[2]]]

Passo 4

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = [[[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32,a_33]]] e H = [[[b_11,b_12,b_13],[b_21,b_22,b_23],[b_31,b_32,b_33]]]

G * H = [[[a_11,a_12,a_13],[a_21,a_22,a_23],[a_31,a_32,a_33]]] * [[[b_11,b_12,b_13],[b_21,b_22,b_23],[b_31,b_32,b_33]]]

= [[[a_11,b_11,+,a_12,b_21,+,a_13,b_31,a_11,b_12,+,a_12,b_22,+,a_13,b_32,a_31,b_11,+,a_32,b_21,+,a_33,b_31],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,+,a_23,b_31,a_21,b_12,+,a_22,b_22,+,a_23,b_32,a_31,b_12,+,a_32,b_22,+,a_33,b_32],[a_31,b_11,+,a_32,b_21,+,a_33,b_31,a_31,b_12,+,a_32,b_22,+,a_33,b_32,a_31,b_13,+,a_33,b_23,+,a_33,b_33]]]

Passo 5

Calculando:

[[[x],[y]]] = [[[(1)/(2),-,(sqrt(3))/(2)],[(sqrt(3))/(2),(1)/(2)]]] * [[[5],[2]]]

[[[x],[y]]] = [[[(1)/(2),*,5,-,(sqrt(3))/(2),*,2],[(sqrt(3))/(2),*,5,+,(1)/(2),*,2]]]

[[[x],[y]]] = [[[(5)/(2),-,(2 sqrt(3))/(2)],[(5 sqrt(3))/(2),+,(2)/(2)]]]

Simplificando as frações

[[[x],[y]]] = [[[(5)/(2),-,sqrt(3)],[(5 sqrt(3))/(2),+,1]]]

Resposta

[[[x],[y]]] = [[[(5)/(2),-,sqrt(3)],[(5 sqrt(3))/(2),+,1]]]

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7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .
10. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando para baixo no eixo x positivo para a origem) pelo ângulo θ = 3 π 4 .
9. Repita o Exercício 8 com uma rotação no sentido anti-horário em torno do eixo y (olhando para baixo no eixo y positivo para a origem) pelo ângulo θ = π 3 .
6. Se x ' y ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y no sentido anti-horário pelo ângulo θ = 3 π 4 .(a) Encontre as coordenadas x ' y ' do pon