6. Se x ' y ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y no sentido anti-horário pelo ângulo θ = 3 π 4 .

(a) Encontre as coordenadas x ' y ' do ponto cujas coordenadas x y são - 2,6 .

(b) Encontre as coordenadas x y do ponto cujas coordenadas x ' y ' são 5,2 .

Passo 1

(a) Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x ' y ' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

x ' y ' = P - 1 x y

Onde

P = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Considerando a definição onde

P T = P - 1

Temos

P - 1 = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Calculando o sen ⁡ θ e cos ⁡ θ

sen ⁡ 3 π 4 = 2 2  

cos ⁡ 3 π 4 = - 2 2

Passo 3

Retornando para

x ' y ' = P - 1 x y

Reescrevendo

x ' y ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ ∙ x y

Substituindo os valores temos

x ' y ' = - 2 2 2 2 - 2 2 - 2 2 ∙ - 2 6

Passo 4

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 5

Calculando:

x ' y ' = - 2 2 2 2 - 2 2 - 2 2 ∙ - 2 6

x ' y ' = - 2 2 ∙ - 2 + 2 2 ∙ 6 - 2 2 ∙ - 2 - 2 2 ∙ 6

x ' y ' = 2 2 2 + 6 2 2 2 2 2 - 6 2 2

x ' y ' = 8 2 2 - 4 2 2

Simplificando as frações

x ' y ' = 4 2 - 2 2

Resposta

x ' y ' = 4 2 - 2 2

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