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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 20

Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz

A = 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2

Passo 1

Partiu primeiro pra nossa letra (a). E ela tá pedindo pra gente encontrar nossa matriz A elevada ao cubo. Desse jeito:

A 3 = A . A . A = 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 ⇒

A 3 =   A 2 . A =   4 0 - 5 0 4 0 25 0 - 1 ⏝ A 2 3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 ⏝ A =   - 13 0 - 14 0 - 8 0 70 0 - 27

Passo 2

Agora já na letra (c) eles deram pra gente uma equação envolvendo nossa matriz, essa equação é A 2 - 2 A + I . O pulo do gato aqui é a gente encontrar os elementos um a um e depois substituir na equação , cola aqui rapidinho:

A 2 = 4 0 - 5 0 4 0 25 0 - 1

2 A = 6 0 - 2 0 - 4 0 10 0 4

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A 2 - 2 A + I =   4 0 - 5 0 4 0 25 0 - 1 - 6 0 - 2 0 - 4 0 10 0 4 + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = - 1 0 - 3 0 9 0 15 0 - 4

Passo 3

A letra (d) também traz um polinômio pra gente resolver, p x = x - 2 , onde p A = A - 2 I

A =   3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2

2 I =   2 0 0 0 2 0 0 0 2

A - 2 I =   3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 -   2 0 0 0 2 0 0 0 2 = 1 0 - 1 0 - 4 0 5 0 0

Passo 4

Suave na nave, agora a letra (e) também traz um polinômio, p x = 2 x 2 + x + 1 , onde p A = 2 A 2 + A + I .

2 A 2 = 8 0 - 10 0 8 0 50 0 - 2

A =   3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 A 2 + A + I =   8 0 - 10 0 8 0 50 0 - 2 +   3 0 - 1 0 - 2 0 5 0 2 +   1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 12 0 - 11 0 7 0 55 0 1

Passo 5

Bora que ta acabando, na nossa letra (e) tem mais um polinômiozinho iti malia pra gente resolver, p x = x 3 - 2 x + 4 , onde p A = A 3 - 2 A + 4 I .

A 3 =   - 13 0 - 14 0 - 8 0 70 0 - 27

2 A = 6 0 - 2 0 - 4 0 10 0 4

4 I = 4 0 0 0 4 0 0 0 4

A 3 - 2 A + 4 I =   - 13 0 - 14 0 - 8 0 70 0 - 27 - 6 0 - 2 0 - 4 0 10 0 4 + 4 0 0 0 4 0 0 0 4 = - 15 0 - 12 0 0 0 60 0 - 27  

Resposta

  1. - 13 0 - 14 0 - 8 0 70 0 - 27
  3. - 1 0 - 3 0 9 0 15 0 - 4
  4. 1 0 - 1 0 - 4 0 5 0 0
  5. 12 0 - 11 0 7 0 55 0 1
  6. - 15 0 - 12 0 0 0 60 0 - 27  
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Sejam A = 2 - 1 3 0 4 5 - 2 1 4 , B = 8 - 3 - 5 0 1 2 4 - 7 6 , C = 0 - 2 3 1 7 4 3 5 9 , a = 4 e b = - 7 , mostre queA B T = B T A T
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