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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 3a

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que (A^T)^T = A

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que (A^T)^T = A . Para isso, vamos resolver (A^T)^T e verificar se, de fato, resulta na matriz A

Vamos realizar A^T primeiramente:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T

A transposição de uma matriz é feita quando suas colunas viram linhas e suas linhas viram colunas. Logo:

A^T = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T = ([[2,0,-,2],[-,1,4,1],[3,5,4]])

Passo 2

Agora, vamos transpor a matriz A^T e ver qual matriz encontramos:

(A^T)^T = ([[2,0,-,2],[-,1,4,1],[3,5,4]])^T = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que (A^T)^T = A

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