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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 1d

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que a (B - C) = a B - a C

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que a (B - C) = a B - a C . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

4 (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

E o segundo:

4 ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - 4 ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

4 (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

4 ([[8,-,0,-,3,-,(,-,2,),-,5,-,3],[0,-,1,1,-,7,2,-,4],[4,-,3,-,7,-,5,6,-,9]])

4 ([[8,-,1,-,8],[-,1,-,6,-,2],[1,-,12,-,3]])

(4 xx ( [[4,xx,8,4,xx,(,-,1,),4,xx,(,-,8,)],[-,1,),4,xx,(,-,6,),4,xx,(,-,2,)],[4,xx,1,4,xx,(,-,12,),4,xx,(,-,3,)]])

([[32,-,4,-,32],[-,3,-,24,-,8],[3,-,48,-,12]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

4 ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - 4 ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[4,xx,8,4,xx,(,-,3,),4,xx,(,-,5,)],[4,xx,0,4,xx,1,4,xx,2],[4,xx,4,4,xx,(,-,7,),4,xx,6]]) - ([[4,xx,0,4,xx,(,-,2,),4,xx,3],[4,xx,1,4,xx,7,4,xx,4],[4,xx,3,4,xx,5,4,xx,9]])

([[32,-,12,-,20],[0,4,8],[16,-,28,24]]) - ([[0,-,8,12],[4,28,16],[12,20,36]])

([[32,-,0,-,12,-,(,-,8,),-,20,-,12],[0,-,4,4,-,28,8,-,16],[16,-,12,-,28,-,20,24,-,36]])

([[32,-,4,-,32],[-,3,-,24,-,8],[3,-,48,-,12]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que a (B - C) = a B - a C

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