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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 2d

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que a (b C) = (a b) C

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que a (b C) = (a b) C . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

4 ((- 7) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

E o segundo:

( ( 4 ) ( - 7 ) ) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

4 ((- 7) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

4 (([[(- 7),xx,0,(- 7),xx,(,-,2,),(- 7),xx,3],[(- 7),xx,1,(- 7),xx,7,(- 7),xx,4],[(- 7),xx,3,(- 7),xx,5,(- 7),xx,9]]))

4 ([[0,14,-,21],[-,7,-,4,9,-,28],[-,2,1,-,35,-,63]])

([[4,xx,0,4,xx,14,4,xx,(,-,21,)],[4,xx,(,-,7,),4,xx,(,-,49,),4,xx,(,-,28,)],[4,xx,(,-,21,),4,xx,(,-,35,),4,xx,(,-,63,)]])

([[0,56,-,84],[-,28,-,196,-,112],[-,84,-,140,-,252]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

( ( 4 ) ( - 7 ) ) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

(- 28) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[(- 28),xx,0,(- 28),xx,(,-,2,),(- 28),xx,3],[(- 28),xx,1,(- 28),xx,7,(- 28),xx,4],[(- 28),xx,3,(- 28),xx,5,(- 28),xx,9]])

([[0,56,-,84],[-,28,-,196,-,112],[-,84,-,140,-,252]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que a (b C) = (a b) C

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