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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 3d

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que (A B)^T = B^T A^T

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que (A B)^T = B^T A^T . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]))^T

E o segundo:

([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])^T ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]))^T

([[(2 xx 8),+,(- 1 xx 0),+,(3 xx 4),(2 xx (- 3)),+,(- 1 xx 1),+,(3 xx (- 7)),(2 xx ( - 5),+,(- 1 xx 2),+,(3 xx 6)],[(0 xx 8),+,(4 xx 0),+,(5 xx 4),(0 xx (- 3)),+,(4 xx 1),+,(5 xx (- 7)),(0 xx (- 5)),+,(4 xx 2),+,(5 xx 6)],[(- 2 xx 8),+,(1 xx 0),+,(4 xx 4),(- 2 xx (- 3)),+,(1 xx 1),+,(4 xx (- 7)),(- 2 xx ( - 5),+,(1 xx 2),+,(4 xx 6)]])^T

([[16,+,0,+,12,-,6,-,1,-,21,-,10,-,2,+,18],[0,+,0,+,20,0,+,4,-,35,0,+,8,+,30],[-,16,+,0,+,16,6,+,1,-,28,10,+,2,+,24]])^T

([[28,-,28,6],[20,-,31,38],[0,-,21,36]])^T

([[28,20,0],[-,28,-,31,-,21],[6,-,21,36]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])^T ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]])^T

([[8,0,4],[-,3,1,-,7],[-,5,2,6]]) ([[2,0,-,2],[-,1,4,1],[3,5,4]])

([[8,xx,2,+,0,xx,(- 1),+,4,xx,3,8,xx,0,+,0,xx,4,+,4,xx,5,8,xx,(,-,2,),+,0,xx,1,+,4,xx,4],[(- 3),xx,2,+,1,xx,(- 1),+,(- 7),xx,3,(- 3),xx,0,+,1,xx,4,+,(- 7),xx,5,(- 3),xx,(,-,2,),+,1,xx,1,+,(- 7),xx,4],[(- 5),xx,2,+,2,xx,(- 1),+,6,xx,3,(- 5),xx,0,+,2,xx,4,+,6,xx,5,(- 5),xx,(,-,2,),+,2,xx,1,+,6,xx,4]])

([[16,+,0,+,12,0,+,0,+,20,-,16,+,0,+,16],[-,6,-,1,-,21,0,+,4,-,35,6,+,1,-,28],[-,10,-,2,+,18,0,+,8,+,30,10,+,2,+,24]])

([[28,20,0],[-,28,-,31,-,21],[6,-,21,36]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que (A B)^T = B^T A^T

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