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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 12

Use as matrizes A e B dos Exercícios 4 e 5 para verificar que A B - 1 = B - 1 A - 1 .

Passo 1

Nossas matrizes A e B dos Exercícios 4 e 5 são respectivamente

A = 3 1 5 2   e   B = 2 - 3 4 4

E queremos mostrar que A B - 1 = B - 1 A - 1 . Pra isso então, precisamos encontrar os termos da direita( B - 1 A - 1 ) . e da esquerda ( A B - 1 ) e comparar. Bora lá então.

Passo 2

Vamos começar pelo termo da direita( B - 1 A - 1 ) , temos que encontrar então separadamente os termos B - 1   e   A - 1 , depois multiplicamos um pelo outro.

  B = 2 - 3 4 4 ⇒ B - 1 = 1 8 - - 12 4 3 - 4 2 = 1 20 4 3 - 4 2

A = 3 1 5 2 ⇒ A - 1 = 1 6 - 5 2 - 1 - 5 3 =   2 - 1 - 5 3

B - 1 A - 1 =   1 20 4 3 - 4 2 2 - 1 - 5 3 = 1 20 - 7 5 - 18 10

Passo 3

Vamo que vamo, já encontramos um lado da equação, agora falta o outro,   A B - 1 . Nesse caso a ordem das operações é invertida, ou seja, primeiro eu multiplico A por B e depois eu encontro a inversa do resultado.

A = 3 1 5 2   e   B = 2 - 3 4 4 ⇒ A B = 3 1 5 2 2 - 3 4 4 =   10 - 5 18 - 7    

A B =   10 - 5 18 - 7   ⇒ A B - 1 = 1 - 70 - - 90 - 7 5 - 18 10 =   1 20 - 7 5 - 18 10

Passo 4

Agora que temos os dois lados da equação, podemos compara-los:

B - 1 A - 1 =   1 20 - 7 5 - 18 10

A B - 1 =   1 20 - 7 5 - 18 10

A B - 1 = B - 1 A - 1 ⇔   1 20 - 7 5 - 18 10 =   1 20 - 7 5 - 18 10

São EXATAMENTE iguais!!!

Resposta

B - 1 A - 1 =   1 20 - 7 5 - 18 10

A B - 1 =   1 20 - 7 5 - 18 10

A B - 1 = B - 1 A - 1 ⇔   1 20 - 7 5 - 18 10 =   1 20 - 7 5 - 18 10

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