Enunciado

17. (Reque Indução Matemática) Sejam A uma matriz n × n e x 0 um vetor não nulo em R n e defina a sequência x 1 ,   x 2 , … , x k , …   por

x 1 = A x 0 max ⁡ A x 0 , x 2 = A x 1 max ⁡ A x 1 , … , x k = A x k - 1 max ⁡ A x k - 1 , …

Prove, por indução, que x k = A k x 0 / max ⁡ A k x 0 .

Passo 1

A prova por indução é a gente considerar que pra n tal afirmação é verdade e provar que pra n + 1 também é verdade.

Então:

x n = A n x 0 max ⁡ A n x 0

Isso já é tomado como verdade.

Passo 2

Agora, temos da sequência:

x n + 1 = A x n max ⁡ A x n

E já temos como verdade:

x n = A n x 0 max ⁡ A n x 0

Então:

x n + 1 = A max ⁡ A x n A n x 0 max ⁡ A n x 0

(vamos ter que chegar nesse resultado quando manipularmos a parte da indução e tals)

Passo 3

Agora entra a parte da indução pra provar...

x n + 1 = A n + 1 x 0 max ⁡ A n + 1 x 0

A gente pode ir mexendo:

x n + 1 = A n A x 0 max ⁡ A n A x 0

Bem... vamos puxar um pouco e lembrar que:

A n A = A A n

E o mais puxado ainda é saber que:

max ⁡ A n A x 0 = max ⁡ A x n max ⁡ A n x 0

Daí fica demonstrado que:

x n + 1 = A n + 1 x 0 max ⁡ A n + 1 x 0

Resposta

x n + 1 = A n + 1 x 0 max ⁡ A n + 1 x 0

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