Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 17
17. (Reque Indução Matemática) Sejam uma matriz e um vetor não nulo em e defina a sequência por
Prove, por indução, que .
Passo 1
A prova por indução é a gente considerar que pra tal afirmação é verdade e provar que pra também é verdade.
Então:
Isso já é tomado como verdade.
Passo 2
Agora, temos da sequência:
E já temos como verdade:
Então:
(vamos ter que chegar nesse resultado quando manipularmos a parte da indução e tals)
Passo 3
Agora entra a parte da indução pra provar...
A gente pode ir mexendo:
Bem... vamos puxar um pouco e lembrar que:
E o mais puxado ainda é saber que:
Daí fica demonstrado que:
Resposta
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Seja F : R 3 → R 3 o operador linear assim definido na base canônica: F 1,0 , 0 = 2,3 , 1 , F 0,1 , 0 = 5,2 , 7 e F 0,0 , 1 = - 2,0 , 7 . Determinar F x , y , z , onde x , y , z é um vetor genético de
Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares? F 1 x , y , z = x - y , x + y , 0
Mostre que os operadores F , G , H ∈ L R 2 dados por F ( x ,y )=( x ,2 y ) , G ( x ,y ) = ( y ,x+y ) e H ( x ,y )=( 0 ,x ) formam um conjuntoL . I em: L R 2 .
Sejam F ∈ L U ,V e G ∈ L V ,W tais que K e r ( F ) = o eK e r G ={ o } . Provar que K e r G ∙ F =o .
Seja F ∈ L R 2 o operador dado por F 1 ,0 =( 2 ,5 ) e F 0 ,1=( 3 ,4 ) . Verificar se são automorfismos do R 2 : G = I + F eH = I + F + F 2 .