Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 10
Seja uma transformação linear com a seguinte propriedade: se é uma base de , então é linearmente independente em V. Provar que F é injetora.
Passo 1
Bom, provar que uma transformação linear injetora é verificar que, dados os vetores e e uma transformação , temos
Se e somente se . Vamos interpretar esta relação de outra forma, a qual será importante para concluirmos que é injetora.
Esta outra interpretação é: para cada transformação , isto é, um , existe um único vetor que satisfaz.
O que a gente fez foi basicamente repetir a informação anterior. Só que se a gente vê que para um único existe um único é fundamental para conseguirmos resolver a questão.
Passo 2
Certo, mas como iremos resolver a questão em si? Para isto, vamos precisar utilizar as definições de base e listas LI.
Seja um vetor qualquer de . Então, como é uma base de , temos:
Sendo os coeficientes da combinação linear únicos (decorrência direta de uma base). Então, se aplicarmos a transformação ao vetor , temos:
Vejam só o que nós temos acima. Escrevemos o “vetor” como uma combinação linear da lista , a qual, por definição, é uma lista LI.
E aqui a gente usa novamente aquela ideia de que um vetor é escrito de uma única maneira através da combinação linear de uma lista LI. Desta forma, existe um único tal que:
Portanto, existe um único tal que:
Desta forma, como existe um único para um único , acabamos provando que a transformação linear é uma transformação injetora.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)