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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 36

Resolva o seguinte sistema a seguir para x , y e z :

[[(1)/(x),+,(2)/(y),-,(4)/(z),=,1],[(2)/(x),+,(3)/(y),+,(8)/(z),=,0,],[-,(1)/(x),+,(9)/(y),+,(10)/(z),=,5]]

Passo 1

Realizar a troca de variável tal que

[[X,=,(1)/(x)],[Y,=,(1)/(y)],[Z,=,(1)/(z)]]

E reescrever o sistema

[[X,+,2,Y,-,4,Z,=,1],[2,X,+,3,Y,+,8,Z,=,0,],[-,X,+,9,Y,+,10,Z,=,5]]

Passo 2

Agora, reescrever o sistema como uma matriz ampliada e escalonar

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[1],[2],[-,1]],[[2],[3],[9]],[[[[-,4],[8],[10]],[[1],[0],[5]]]]]]) underset([[L 2 -> L 2 - 2 L 1],[L 3 -> L 3 + L 1]])(->) ([[[[1],[0],[0]],[[2],[-,1],[11]],[[[[-,4],[16],[6]],[[1],[-,2],[6]]]]]])

([[[[1],[0],[0]],[[2],[-,1],[11]],[[[[-,4],[16],[6]],[[1],[-,2],[6]]]]]]) underset([[L 1 -> L 1 + 2 L 2],[L 3 -> L 3 + 11 L 2]])(->) ([[[[1],[0],[0]],[[0],[-,1],[0]],[[[[28],[16],[182]],[[-,3],[-,2],[-,16]]]]]])

([[[[1],[0],[0]],[[0],[-,1],[0]],[[[[28],[16],[182]],[[-,3],[-,2],[-,16]]]]]]) underset([[L 2 -> - 1 L 2],[L 3 -> (1)/(182) L 3]])(->) ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[28],[-,16],[1]],[[-,3],[2],[-,8,//,91]]]]]])

Passo 3

([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[28],[-,16],[1]],[[-,3],[2],[-,8,//,91]]]]]]) underset([[L 2 -> L 2 + 16 L 3],[L 1 -> L 1 - 28 L 3]])(->) ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[0],[0],[1]],[[-,7,//,13],[54,//,91],[-,8,//,91]]]]]])

Passo 4

Agora, reescrecer a matriz ([[[[1],[0],[0]],[[0],[1],[0]],[[[[0],[0],[1]],[[-,7,//,13],[54,//,91],[-,8,//,91]]]]]]) como o sistema linear

[[X,=,-,7,//,13],[Y,=,54,//,91],[Z,=,-,8,//,91]]

Passo 5

Resolvendo o sistema, vemos que

[[X,=,-,7,//,13],[Y,=,54,//,91],[Z,=,-,8,//,91]]

Portanto, retornando às variáveis originais:

[[X,=,(1)/(x),=,-,(7)/(13),,:.,,,,x,=,-,(13)/(7)],[Y,=,(1)/(y),=,54,//,91,,,,:.,,,,y,=,(91)/(54)],[Z,=,(1)/(z),=,-,8,//,91,,,,:.,,,,z,=,-,(91)/(8)]]

Resposta

[[,x,=,-,(13)/(7)],[y,=,(91)/(54)],[z,=,-,(91)/(8)]]

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