Determine os valores de a   com os quais o sistema x + y + 7 z = - 7 2 x + 3 y + 17 z = - 16 x + 2 y + a 2 + 1 z = 3 a o sistema

não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de achar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso, a matriz ampliada é:

1 2 1 1 3 2 7 17 a 2 + 1 - 7 - 16 3 a

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 2 1 1 3 2 7 17 a 2 + 1 - 7 - 16 3 a → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 0 0 1 1 1 7 3 a 2 - 6 - 7 - 2 3 a + 7

1 0 0 1 1 1 7 3 a 2 - 6 - 7 - 2 3 a + 7 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 1 1 0 7 3 a 2 - 9 - 7 - 2 3 a + 9

Passo 3

Repare que conseguimos isolar o parâmetro a na última linha. Agora, vamos testar as condições para que o sistema tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado esquerdo da equação:

a 2 - 9 z = 3 a + 9

a 2 - 9 = 0

a = ± 3

Agora vamos testar, primeiro a = 3 :

a 2 - 9 z = 3 a + 9

0 = 3 ( 3 ) + 9

0 = 18

Assim para a = 3   o sistema não possui soluções. Agora vamos testar a = - 3 :

0 = 3 ( - 3 ) + 9

0 = 0

Para a = 3 o sistema possui infinitas soluções.

Finalmente, para a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução.

Resposta

Se a ≠ ± 3   o sistema possui apenas uma solução;

Se a = 3 o sistema não possui soluções;

Se a = - 3 , o sistema possui infinitas soluções

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