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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 20

Resolva o sistema linear [[v,+,3,w,-,2,x,=,0],[2,u,+,v,-,4,w,+,3,x,=,0],[[[2,u,+,3,v,+,2,w,-,x,=,0],[-,4,u,-,3,v,+,5,w,-,4,x,=,0]]]] por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

([[[[0],[2],[[[2],[-,4]]]],[[1],[1],[[[3],[-,3]]]],[[[[3],[-,4],[[[2],[5]]]],[[-,2],[3],[[[-,1],[-,4]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[0],[2],[[[2],[-,4]]]],[[1],[1],[[[3],[-,3]]]],[[[[3],[-,4],[[[2],[5]]]],[[-,2],[3],[[[-,1],[-,4]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset(L 1 harr L 4)(->) ([[[[-,4],[2],[[[2],[0]]]],[[-,3],[1],[[[3],[1]]]],[[[[5],[-,4],[[[2],[3]]]],[[-,4],[3],[[[-,1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 3

([[[[-,4],[2],[[[2],[0]]]],[[-,3],[1],[[[3],[1]]]],[[[[5],[-,4],[[[2],[3]]]],[[-,4],[3],[[[-,1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset(L 1 -> - (1)/(4) L 1)(->) ([[[[1],[2],[[[2],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[3],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[-,4],[[[2],[3]]]],[[1],[3],[[[-,1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[2],[[[2],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[3],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[-,4],[[[2],[3]]]],[[1],[3],[[[-,1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset([[L 2 -> L 2 - 2 L 1],[L 3 -> L 3 - 2 L 1]])(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[3,//,4,],[-,1,//,2],[[[3,//,2],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[-,3,//,2],[[[9,//,2],[3]]]],[[1],[1],[[[-,3],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 4

([[[[1],[2],[[[2],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[3],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[-,4],[[[2],[3]]]],[[1],[3],[[[-,1],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset(L 2 -> - 2 L 2)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[3,//,2],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[3],[[[9,//,2],[3]]]],[[1],[-,2],[[[-,3],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[3,//,2],[1]]]],[[[[-,5,//,4],[3],[[[9,//,2],[3]]]],[[1],[-,2],[[[-,3],[-,2]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) underset([[L 3 -> L 3 - (3)/(2) L 2],[L 4 -> L 4 - L 2]])(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[0],[0]]]],[[[[-,5,//,4],[3],[[[0],[0]]]],[[1],[-,2],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]])

Passo 5

Agora, vamos transformar a matriz ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[3,//,4,],[1],[[[0],[0]]]],[[[[-,5,//,4],[3],[[[0],[0]]]],[[1],[-,2],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]) num sistema linear e resolvê-lo:

[[u,+,(3)/(4),v,-,(5)/(4),w,+,x,=,0],[v,+,3,w,-,2,x,=,0]]

Passo 6

Atribuindo os parâmetros w = s e x = t , substituímos nas equações e resolvemos o sistema:

[[v,=,-,3,w,+,2,x],[v,=,-,3,s,+,2,t],[]]

[[u,=,-,(3)/(4),v,+,(5)/(4),w,-,x],[u,=,-,(3)/(4),(- 3 s + 2 t),+,(5)/(4),s,-,t],[u,=,(14)/(4),s,-,(5)/(2),t]]

Resposta

A solução do sistema é (u , v , w , x) = ((14)/(4) s - (5)/(2) t , - 3 s + 2 t , s , t) .

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Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão t r ( D . E T ) (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão B T + 5 C T (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 2 E T - 3 D T (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão D T - E T (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 2 E T - 3 D T T (se possível)