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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 19

Resolva o sistema linear [[3,x_1,+,x_2,+,x_3,+,x_4,=,0],[5,x_1,-,x_2,+,x_3,-,x_4,=,0]] por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

([[[[3],[5]],[[1],[-,1]],[[[[1],[1]],[[1],[-,1]],[[1],[-,1,]],,,,[[0],[0]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[3],[5]],[[1],[-,1]],[[[[1],[1]],[[1],[-,1]],,,,[[0],[0]]]]]]) underset(L 1 -> (1)/(3) L 1)(->) ([[[[1],[5]],[[1,//,3],[-,1]],[[[[1,//,3],[1]],[[1,//,3],[-,1]],[[1,//,3],[-,1,]],,,,[[0],[0]]]]]])

Passo 3

([[[[1],[5]],[[1,//,3],[-,1]],[[[[1,//,3],[1]],[[1,//,3],[-,1]],,,[[0],[0]]]]]]) underset(L 2 -> L 2 - 5 L 1)(->) ([[[[1],[0]],[[1,//,3],[-,8,//,3]],[[[[1,//,3],[-,2,//,3]],[[1,//,3],[-,8,//,3]],,,,[[0],[0]]]]]])

([[[[1],[0]],[[1,//,3],[-,8,//,3]],[[[[1,//,3],[-,2,//,3]],[[1,//,3],[-,8,//,3]],,,,[[0],[0]]]]]]) underset(L_2 -> - (3)/(8) L 2)(->) ([[[[1],[0]],[[1,//,3],[1]],[[[[1,//,3],[1,//,4]],[[1,//,3],[1]],,,,[[0],[0]]]]]])

Passo 4

Agora, vamos converter a matriz ([[[[1],[0]],[[1,//,3],[1]],[[[[1,//,3],[1,//,4]],[[1,//,3],[1]],,,,[[0],[0]]]]]]) para equações lineares:

[[x_1,+,(1)/(3),x_2,+,(1)/(3),x_3,+,(1)/(3),x_4,=,0],[x_2,+,(1)/(4),x_3,+,x_4,=,0]]

Passo 5

Atribuindo os parâmetros x_3 = s e x_4 = t , substituímos nas equações e resolvemos o sistema:

[[x_2,+,(1)/(4),s,+,t,=,0],[x_2,=,-,(1)/(4),s,-,t],[x_2,=,-,((1)/(4) s + t)]]

[[x_1,=,-,(1)/(3),(x_2 + x_3 + x_4)],[x_1,=,-,(1)/(3),(- (1)/(4) s - t + s + t)],[x_1,=,-,(1)/(4),s]]

Resposta

A solução do sistema é (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = (- (1)/(4) s , - (1)/(4) s - t , s , t) .

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