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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 24

Resolva o sistema linear [[Z_3,+,Z_4,+,Z_5,=,0],[-,Z_1,-,Z_2,+,2,Z_3,-,3,Z_4,+,Z_5,=,0],[[[Z_1,+,Z_2,-,2,Z_3,-,Z_5,=,0],[2,Z_1,+,2,z_2,-,Z_3,+,Z_5,=,0]]]] por qualquer método.

Passo 1

Podemos resolver esse sistema pelo método da eliminação. Primeiramente, para facilitar, vamos abrir o sistema numa matriz aumentada:

([[[[0],[-,1],[[[1],[2]]]],[[0],[-,1],[[[1],[2]]]],[[[[1],[2],[[[-,2],[-,1]]]],[[1],[-,3],[[[0],[0]]]],[[[[1],[1],[[[-,1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo L para designar a linha e o operdor:

underset(L q u e s e r á a l t e r a d a -> O p e r a ç ã o)(->)

([[[[0],[-,1],[[[1],[2]]]],[[0],[-,1],[[[1],[2]]]],[[[[1],[2],[[[-,2],[-,1]]]],[[1],[-,3],[[[0],[0]]]],[[[[1],[1],[[[-,1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset(L 1 harr L 3)(->) ([[[[1],[-,1],[[[0],[2]]]],[[1],[-,1],[[[0],[2]]]],[[[[-,2],[2],[[[1],[-,1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[1],[[[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

Passo 3

([[[[1],[-,1],[[[0],[2]]]],[[1],[-,1],[[[0],[2]]]],[[[[-,2],[2],[[[1],[-,1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[1],[[[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset([[L 2 -> L 2 + L 1],[L 4 -> L 4 - 2 L 1]])(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[1],[3]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[1],[3]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[1],[3]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[1],[3]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset(L 4 -> (1)/(3) L 4)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[1],[1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

Passo 4

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[1],[1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[1],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset(L 3 -> L 3 - L 4)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[-,3],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset(L 2 -> L 2 + 3 L 3)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

Passo 5

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[-,1],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset([[L 4 -> L 4 - L 2],[L 1 -> L 1 + L 2]])(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[-,2],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) underset(L 1 -> L 1 + L 4)(->) ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]])

Passo 6

Agora, vamos transformar a matriz ([[[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[1],[0],[[[0],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[1]]]],[[0],[0],[[[1],[0]]]],[[[[0],[0],[[[0],[0]]]],[[0],[0],[[[0],[0]]]]]]]]]]) num sistema linear e resolvê-lo:

[[Z_1,+,Z_2,=,0],[Z_2,=,t],[[[Z_3,=,0],[Z_4,=,0],[Z_5,=,w]]]] -> [[Z_1,=,-,t],[Z_2,=,t],[[[Z_3,=,0],[Z_4,=,0],[Z_5,=,w]]]]

Resposta

A solução do sistema é (Z_1 , Z_2 , Z_3 , Z_4 , Z_5) = (- t , t , 0 , 0 , w) .

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