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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 5

Resolva o sistema linear x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10 por eliminição de Gauss-Jordan.

Passo 1

Analisando o sistema   x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 10 temos que obter a matriz aumentada que é:

1 - 1 3 1 - 2 - 7 2 3 4 8 1 10

Passo 2

A eliminição de Gauss-Jordan realiza operações entre linhas a fim de transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz identidade.

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

a fim de dar fluidez ao exercício.

Passo 3

1 - 1 3 1 - 2 - 7 2 3 4 8 1 10 → L 2 → L 2 + L 1 1 0 3 1 - 1 - 7 2 5 4 8 9 10

1 0 3 1 - 1 - 7 2 5 4 8 9 10 → L 3 → L 3 - 3 L 1 1 0 3 1 - 1 - 10 2 5 - 2 8 9 - 14

Passo 4

1 0 3 1 - 1 - 10 2 5 - 2 8 9 - 14 → L 2 → - L 2 1 0 3 1 1 - 10 2 - 5 - 2 8 - 9 - 14

1 0 3 1 1 - 10 2 - 5 - 2 8 - 9 - 14 → L 1 → L 1 - L 2 1 0 0 0 1 - 10 7 - 5 - 2 17 - 9 - 14

Passo 5

1 0 0 0 1 - 10 7 - 5 - 2 17 - 9 - 14 → L 3 → L 3 + 10 L 2 1 0 0 0 1 0 7 - 5 - 52 17 - 9 - 104

1 0 0 0 1 0 7 - 5 - 52 17 - 9 - 104 → L 3 → - 1 52 L 3 1 0 0 0 1 0 7 - 5 1 17 - 9 2

Passo 6

1 0 0 0 1 0 7 - 5 1 17 - 9 2 → L 2 → L 2 + 5 L 3 L 1 → L 1 - 7 L 3   1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 2

Agora, é transformar a matriz num sistema linear. Logo, temos:

x 1 = 3 x 2 = 1 x 3 = 2

Resposta

A solução do sistema é x 1 = 3 x 2 = 1 x 3 = 2

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Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão t r ( B C ) (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão C D E (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão t r ( 4 E T - D ) (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão 3 E D (se possível)
Considere as matrizes A = 3 0 - 1 2 1 1 B = 4 - 1 0 2 C = 1 4 2 3 1 5 D = 1 5 2 - 1 0 1 3 2 4 E = 6 1 3 - 1 1 2 4 1 3 Em cada parte, calule a expressão A B . C (se possível)