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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 35

Resolva o seguinte sistema de equções não lineares para x , y   e z :

x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 2 - y 2 + 2 z 2 = 2   2 x 2 + y 2 - z 2 = 3

Passo 1

Realizar a troca de variável tal que

x 2 = X y 2 = Y z 2 = Z

E reescrever o sistema

X + Y + Z = 6 X - Y + 2 Z = 2   2 X + Y - Z = 3

Passo 2

Agora, reescrever o sistema como uma matriz ampliada e escalonar

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 1 2 1 - 1 1 1 2 - 1 6 2 3 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → - ( L 3 - 2 L 1 ) 1 0 0 1 - 2 1 1 1 3 6 - 4 9

1 0 0 1 - 2 1 1 1 3 6 - 4 9 → L 2 → L 2 + 2 L 3 1 0 0 1 0 1 1 7 3 6 14 9

Passo 3

Agora, reescrecer a matriz   1 0 0 1 0 1 1 7 3 6 14 9 como o sistema linear

X + Y + Z = 6 7 Z = 14 Y - 3 Z = 9

Passo 4

Resolvendo o sistema, vemos que

X = 1 Y = 3 Z = 2

Portanto, retornando às variáveis à segunda potência:

X = x 2 = 1     ∴       x = ± 1 Y = y 2 = 3       ∴       y = ± 3 Z = z 2 = 2       ∴       z = ± 2

Resposta

x = ± 1 y = ± 3 z = ± 2

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