Determine os valores de a   com os quais o sistema x + 2 y - 3 z = 4 3 x - y + 5 z = 2 4 x + y + a 2 - 14 z = a + 2 o sistema

não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

Para determinarmos uma condição para um sistema, devemos escrevê-lo como uma matriz ampliada a fim de achar uma relação que envolva esse parâmetro.

No caso, a matriz ampliada é:

1 3 4 2 - 1 1 - 3 5 a 2 - 14 4 2 a + 2

Passo 2

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

1 3 4 2 - 1 1 - 3 5 a 2 - 14 4 2 a + 2 → L 2 → L 2 - 3 L 1 L 3 → L 3 - 4 L 1 1 0 0 2 - 7 - 7 - 3 14 a 2 - 2 4 - 10 a - 14

Passo 3

1 0 0 2 - 7 - 7 - 3 14 a 2 - 2 4 - 10 a - 14 → L 2 → - 1 7 L 2 1 0 0 2 1 - 7 - 3 - 2 a 2 - 2 4 10 / 7 a - 14

1 0 0 2 1 - 7 - 3 - 2 a 2 - 2 4 10 / 7 a - 14 → L 3 → L 3 + 7 L 2 1 0 0 2 1 0 - 3 - 2 a 2 - 16 4 10 / 7 a - 4

Passo 4

Repare que conseguimos isolar o parâmetro a na última linha. Agora, vamos testar as condições para que o sistema tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Testaremos o valor de a para zerar o lado direito da equação a 2 - 16 z = a - 4

Assim, temos os valores 4 e - 4 .

Se a = 4 , temos que 0 = 0 . Portanto, infinitas soluções;

Se a = - 4 , temos que 0 = - 8 . Portanto, nenhuma solução;

Se a ≠ ±   4 , temos apenas uma uma solução.

Resposta

Se a = 4 , temos que 0 = 0 . Portanto, infinitas soluções;

Se a = - 4 , temos que 0 = - 8 . Portanto, nenhuma solução;

Se a ≠ ±   4 , temos apenas uma uma solução.

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