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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 5b

Resolver os sistemas

b) {[[vec x xx ( 2 vec i - vec j + 3 vec k ) = vec 0],[vec x . (vec i + 2 vec j - 2 vec k) = 1 2]])

Passo 1

Vamos chamar vec x = ( a , b , c ) ok??

Sabendo que vec i = (1 , 0 , 0) , vec j = (0 , 1 , 0) , vec k = ( 0 , 0 , 1 ) , temos, da primeira condição:

( a , b , c ) xx (2 , - 1 , 3) = ( 0 , 0 , 0 )

Se esse produto vetorial resultou no vetor nulo já sabemos que ( a , b , c ) é paralelo a ( 2 , - 1 , 3 ) né? Haha mas vamos ver qual é a dele :P

Esse produto vetorial é dado pelo determinante:

|[[vec i,vec j,vec k],[a,b,c],[2,-,1,3]]| = ( 0 , 0 , 0 )

Resolvendo o determinante, temos

( 3 b + c ) vec i + ( - 3 a + 2 c ) vec j + ( - a - 2 b ) vec k = ( 0 , 0 , 0 )

(3 b + c , - 3 a + 2 c , - a - 2 b) = ( 0 , 0 , 0 )

Igualando as coordenadas, temos que

{[[3 b + c = 0],[- 3 a + 2 c = 0],[- a - 2 b = 0]]) ( I )

Vamos guardar esse sistema enquanto analisamos nossa segunda condição beleza? :)

Passo 2

Aqui temos que vec x . (vec i + 2 vec j - 2 vec k) = 12 , isso é análogo a escrever

(a , b , c) . (1 , 2 , - 2) = 1 2

a + 2 b - 2 c = 12

Agora vamos colocar essa equação no nosso sistema ( I ) :

{[[3 b + c = 0],[- 3 a + 2 c = 0],[- a - 2 b = 0],[a + 2 b - 2 c = 12]])

Resolvendo esse sistema, encontramos

a = - 4

b = 2

c = - 6

Logo, a solução do nosso sistema é vec x = ( - 4 , 2 , - 6 )

Resposta

( - 4 , 2 , - 6 )

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