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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 13b

(a) Conclua que S (omega) = S (omega_i j)^2 + S (omega_i k)^2 + S (omega_j k)^2 .

Passo 1

Bora lá!

Primeiramente, devemos ter a noção de que S (omega) , S (omega_i j) , S (omega_i k) e S (omega_j k) representam as respectivas áreas dos paralelogramos, os quais, por sua vez, são formados pelas projeções dos vetores.

Dessa forma, temos:

S (omega) = S (omega_i j)^2 + S (omega_i k)^2 + S (omega_j k)^2

(|vec u ^^ vec v|)^2 = (|vec u_i j ^^ vec v_i j|)^2 + (|vec u_i k ^^ vec v_i k|)^2 + (|vec u_j k ^^ vec v_j k|)^2

Passo 2

Por fim, temos que usar os dados calculados na letra (a), substituindo os na expressão obtida, temos

(|vec u ^^ vec v|)^2 = (|vec u_i j ^^ vec v_i j|)^2 + (|vec u_i k ^^ vec v_i k|)^2 + (|vec u_j k ^^ vec v_j k|)^2

(sqrt((a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_2 c_1 - a_1 c_2)^2 + (b_1 c_2 - b_2 c_1)^2))^2 =

= (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_2 c_1 - a_1 c_2)^2 + (b_1 c_2 - b_2 c_1)^2

(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_2 c_1 - a_1 c_2)^2 + (b_1 c_2 - b_2 c_1)^2 =

= (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_2 c_1 - a_1 c_2)^2 + (b_1 c_2 - b_2 c_1)^2

Portanto, concluímos que a expressão S (omega) = S (omega_i j)^2 + S (omega_i k)^2 + S (omega_j k)^2 é, de fato, verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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