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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 27c

(c) Aplique (b) ao caso em que vec u = (1 , - 3 , 1)_B e vec v (- 3 , 3 , 3)_B .

Passo 1

Para começarmos a resolução, vamos considerar os vetores vec u e vec v vetores definidos por vec u = ( 1 , - 3 , 1 ) e vec v = ( - 3 , 3 , 3 ) .

Primeiramente, vamos calcular o produto vetorial entre os nosso vetores vec u e vec v .

|vec u ^^ vec v| = |[[vec i,vec j,vec k],[1,-,3,1],[-,3,3,3]]|

= - 9 vec i + 3 vec k - 3 vec j - 9 vec k - 3 vec i - 3 vec j

= - 12 vec i - 6 vec j - 6 vec k

= ( - 12 , - 6 , - 6 )

Passo 2

Calculando o módulo desse produto, temos:

||vec u ^^ vec v|| = sqrt((- 12)^2 + (- 6)^2 + (- 6)^2) = sqrt(216) = 6 sqrt(6)

Passo 3

Agora que temos todos os dados em mãos, aplicaremos a fórmula genérica encontrada na letra (b):

vec w = - (1)/(||vec u ^^ vec v||) . |vec u ^^ vec v| = - (1)/(6 sqrt(6)) . (- 12 , - 6 , - 6) = (1)/(sqrt(6)) ( 2 , 1 , 1 )

Resposta

(c)

vec w = (1)/(sqrt(6)) ( 2 , 1 , 1 )

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Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u → e v → , sabendo que suas diagonais são u → + v → = ( - 1 ,3 ,4 ) e u → - v → = ( 1 ,- 2 ,2 ) .
Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A 2 ,- 4 ,0eB 1 ,- 3 ,- 1 , e o ponto médio das diagonais é M ( 3 ,2 , - 2 ) . Calcular a área do paralelogramo.
Mostrar que o quadrilátero A B C D de vértices A 4 ,1 ,2 ,B 5 ,0 ,1 ,C ( - 1,2 , - 2 ) e D ( - 2 ,3 , - 1 ) é um paralelogramo e calcular sua área.
Sabendo que u → = 6 ,v → = 4 e 30 ° o ângulo entre u → e v → , calcular:c) a área do paralelogramo determinado por u → + v → e u → - v → .
26. Calcular z , sabendo-se que A 2,0 , 0 , B 0,2 , 0 e C 0,0 , z são vértices de um triângulo de área 6.