Enunciado

Sabendo que V = x , y x , y   ∈ R } anterior definamos a adição como o fazemos habitualmente no R 2 e a multiplicação por escalares assim:

a x , y = a x ,   0 .

É então V um espaço vetorial sobre R ? Por quê?

Passo 1

Para verificarmos se é um espaço vetorial, precisamos verificar se atende a todas as propriedades. As propriedades de soma, por termos a soma habitual do R 2 , já podemos garantir que elas serão satisfeitas.

Portanto, já garantimos que

  1. A soma é comutativa
  2. A soma é associativa
  3. Existe um elemento neutro da soma
  4. Existe um inverso aditivo

Passo 2

Vamos observar agora as propriedades referentes a multiplicação.

  1. Associatividade: α β v = α ( β v )
  2. α β v =   α ( β v )

    α β * x , y = α β x , y

    α β x , 0 = α ( β x , 0 )

    α β x , 0 = ( α β x , 0 )

    Portanto a multiplicação é associativa

    Passo 3

  3. Elemento Neutro da Multiplicação: 1 ⋅ v = v

1 ⋅ x , y = x , y

1 ⋅ x , 0 = ( x ,   y )

Só que

x , 0 ≠ ( x ,   y )

Porque y ∈ R e não necessariamente será igual a 0 .

Portanto, V não é um espaço vetorial. Uma vez que não atende a uma das propriedades exigidas.

Resposta

V não é um espaço vetorial. Porque não atende a uma das propriedades exigidas(Elemento Neutro da Multiplicação).

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