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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 28

Sabe-se que ser |vec v| = 2 , cos (alpha) = (1)/(2) e cos (beta) = - (1)/(4) . Determinar ser vec v .

Passo 1

Nessa questão, vamos usar da relação para determinar ângulos diretores

cos^2 (alpha) + cos^2 (beta) + cos^2 (gamma) = 1

E usar a relação deles com as coordenadas

[[x,=,cos (alpha),|vec v|],[y,=,cos (beta),|vec v|],[z,=,cos (gamma),|vec v|]]

Passo 2

Vamos começar achando o cos (gamma) usando a equação dos ângulso diretores.

cos^2 (alpha) + cos^2 (beta) + cos^2 (gamma) = 1

((1)/(2))^2 + (- (1)/(4))^2 + cos^2 (gamma) = 1

(1)/(4) + (1)/(16) + cos^2 (gamma) = 1

(4)/(16) + (1)/(16) + cos^2 (gamma) = 1

(5)/(16) + cos^2 (gamma) = 1

cos^2 (gamma) = 1 - (5)/(16)

cos^2 (gamma) = (16)/(16) - (5)/(16)

cos^2 (gamma) = (1 1)/(16)

cos (gamma) = +- (sqrt(11))/(4)

Passo 3

Por fim, vamos usar da relação das coordenadas com os cossenos do ângulos para achar cada coordenada do vetor vec v .

  • Para a primeira coordenada:

    • x = cos (alpha) |vec v|

    x = (1)/(2) * 2

    x = 1

  • Para a segunda coordenada:

    • y = cos (beta) |vec v|

    y = - (1)/(4) * 2

    y = - (1)/(2)

  • Para a terceira coordenada:

z = cos (gamma) |vec v|

z = +- (sqrt(11))/(4) * 2

[[z_1,=,(sqrt(11))/(2)],[z_2,=,-,(sqrt(11))/(2)]]

Substituindo as coordenadas no vetor vec v , temos que vec v = (1 , - (1)/(2) , (sqrt(11))/(2)) ou vec v = (1 , - (1)/(2) , - (sqrt(11))/(2))

Resposta

vec v = (1 , - (1)/(2) , (sqrt(11))/(2)) ou vec v = (1 , - (1)/(2) , - (sqrt(11))/(2))

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