Seja
Ache condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável.
Passo 1
Fala aiii, galera! Tudo tranquilo? Espero que sim.
Bom, uma matriz é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal, ou seja, se onde é uma matriz diagonal. Nesse caso, os elementos de são os autovalores :
Então, precisamos que a matriz tenha dois autovalores distintos.
Passo 2
O polinômio característico de é
Veja que nós obtivemos um polinômio de segundo grau e precisamos de duas raízes diferentes, que vão ser os dois autovalores distintos da matriz. Assim, o discriminante deve ser positivo:
Essa condição é necessária e também suficiente para que a matriz seja diagonalizável.
Resposta
Veja a resolução acima.