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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 20

Seja A =

⎜   a                 b       ⎜

⎜   c                 d       ⎜

Ache condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável.

Passo 1

Fala aiii, galera! Tudo tranquilo? Espero que sim.

Bom, uma matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal, ou seja, se A = P - 1 D P onde D é uma matriz diagonal. Nesse caso, os elementos de D são os autovalores λ 1 , λ 2 :

D =

⎜   λ 1                 0       ⎜

⎜   0                   λ 2     ⎜

Então, precisamos que a matriz A tenha dois autovalores distintos.

Passo 2

O polinômio característico de A é

p ( t ) = d e t ( A - t I 2 ) = ( a - t ) ( d - t ) - c b = t 2 - t ( a + d ) + a d - c b = 0

Veja que nós obtivemos um polinômio de segundo grau e precisamos de duas raízes diferentes, que vão ser os dois autovalores distintos da matriz. Assim, o discriminante deve ser positivo:

Δ = B 2 - 4 A C = ( a + d ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a d - c b ) > 0

⇒ ( a 2 + d 2 + 2 a d ) - 4 ⋅ 1 ⋅ ( a d - c b ) > 0

⇒ ( a 2 + d 2 - 2 a d ) + 4 c b > 0

⇒ ( a - d ) 2 + 4 c b > 0

Essa condição é necessária e também suficiente para que a matriz seja diagonalizável.

Resposta

Veja a resolução acima.

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Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
Verifique quais matrizes são diagonalizáveis: 1 4 1 - 2 b) 1 0 - 2 1 c) 1 1 - 2 4 0 4 1 - 1 4 d) 1 2 3 0 - 1 2 0 0 2
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:f) 2 2 3 1 2 1 2 - 2 1
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:c) 1 1 - 2 4 0 4 1 - 1 4
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:d) 1 2 3 0 - 1 2 0 0 2