Enunciado

São dados

      ⎧   x   = 1 + t

  r   ⎢   y   = 2   - t

      ⎩   z   = 1 + t e

P   =   ( 2,1 , 0 ) .

  1. Dê uma equação do plano π que passa por P e é perpendicular a r .
  2. Calcule a interseção do plano π com a reta r .
  3. Ache o simétrico de P em relação à reta r .

Passo 1

  1. E aí, galera! Para esse item, vamos manipular as informações dadas na questão. Começaremos escrevendo um ponto da reta r utilizando sua forma parametrizada:
  2. R   =   ( 1 + t ,   2   - t ,   1 + t   ) .

    Agora, podemos obter o vetor diretor dessa reta: v → r   =   ( 1 , - 1,1 ) .

    Então, partiremos para a condição de perpendicularidade, pois esta nos fornecerá um vetor perpendicular ao plano que desejamos e, por consequência, como o plano é perpendicular a reta r , o vetor diretor e o vetor normal ao plano terão o mesmo sentido. Logo, podemos concluir que n →   =   ( 1 , - 1,1 ) .

    Podemos recordar que a equação de um plano é dada por:

    a x   +   b y   +   c z   +   d   =   0 ,

    onde os coeficientes a , b e c são provenientes do vetor perpendicular ao plano. Sendo assim, a   = 1   , b   =   - 1 e c   =   1 .

    Então, ficamos com a seguinte equação: x   - y   + z   +   d   =   0 . Nos resta apenas descobrir o valor de d e, para isso, utilizaremos a informação do ponto P   =   ( 2,1 , 0 ) , que está contido no plano. Daí, P deve satisfazer a equação do plano. Sendo assim, basta substituir os valores de x , y e z e teremos:

    2   - 1   + 0   +   d   =   0   ⇒   d   =   - 1

    Logo, a equação do plano que buscamos é dada por:

    x - y   +   z   -   1   =   0 .

    Passo 2

  3. A equação do plano obtida no passo anterior é dada por x - y   +   z   -   1   =   0 e a equação paramétrica da reta é R   =   ( 1 + t ,   2   - t ,   1 + t   ) . A interseção ocorrerá quando os valores de   x , y e z assumirem os valores de R . Daí, temos
  4. ( 1 + t ) - ( 2 - t )   +   ( 1 + t )   -   1   =   0   ⇒   3 t   - 1   =   0   ⇒   t   =   1 3 .

    Então, a interseção ocorrerá em   t   =   1 3 e o ponto será:

    R   =   ( 1 + 1 3 ,   2   - 1 3 ,   1 + 1 3   )   =   ( 4 3 ,   5 3 ,   4 3 ) .

    Passo 3

  5. Bom, primeiramente, sabemos que o ponto P   =   ( 2,1 , 0 ) está localizado no plano π e no passo anterior, descobrimos o ponto de interseção entre o plano π   e a reta r . Então, o ponto P s estará diametralmente oposto à distância entre P e R i n t . Então, R i n t funcionará como um ponto médio entre os dois pontos. Logo, temos que:

R i n t   = P +   P s 2   ⇒ P s   =   2 R i n t   - P   =   2 ( 4 3 ,   5 3 ,   4 3 ) - ( 2,1 , 0 )   ⇒ P s   =   ( 2 3 ,   7 3 ,   8 3 ) .

Resposta

  1. x - y   +   z   -   1   =   0
  2. ( 4 3 , 5 3 , 4 3 )
  3. ( 2 3 , 7 3 , 8 3 )

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