Seja r a reta determinada pelos pontos A=( 1,2 , 0 ) e B=( - 1 , - k , 3 ) , e γ o plano da equação k x- y+ 2 z - m=0 .Para que valores de k e m a reta r é paralela a γ ?Para que valores de k e m a reta está contida em γ ?

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 24

Seja a reta determinada pelos pontos e , e o plano da equação .

Para que valores de e a reta é paralela a ?

Para que valores de e a reta está contida em ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos começar determinando a reta que passa pelos pontos e . Podemos escolher como sendo o ponto inicial da reta, de modo que sua equação paramétrica se torne

Por outro lado, o vetor diretor da reta pode ser dado por um vetor que sai de e vai até :

Agora que sabemos o valor do vetor diretor da reta, podemos substituir na equação paramétrica:

Assim, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como . Em particular, recuperamos quando e quando . Outra informação importante é que o vetor normal ao plano é dado por . Agora sim podemos começar a resolver a questão.

Passo 2

Nesse item, precisamos que a reta seja paralela ao plano. Já que é paralela a , então o vetor diretor de deve ser ortogonal ao vetor normal ao plano. Assim,

Agora, precisamos de uma segunda equação. Mas calma que ainda temos uma carta na manga. Então, vamos lembrar que os pontos da reta podem ser escritos como . Para simplificar, vamos escolher o ponto para o qual , ou seja, . Como a reta deve estar paralela ao plano mas não contida no plano, esse ponto não pode satisfazer a equação do plano:

Passo 3

Agora, queremos que a reta está contida em . Naturalmente, o vetor diretor da reta continua sendo ortogonal ao vetor normal do plano. Então a condição permanece válida. O que muda agora é que o ponto deve satisfazer a equação do plano para que a reta esteja contida nele. Assim,

Resposta

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Nos Problemas 23 e 24 , determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:23) A 4,3 , 2 r :x = t y = 2 - t 3 + 2 t

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:26) Paralelo ao eixo x e que contenha os pontos A ( - 2 ,0 ,2 ) e B ( 0 ,- 2 ,1 ) .

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:29) Perpendicular ao eixo y e que contenha o ponto A ( 3 ,4 ,- 1 ) .

Nos Problemas 23 e 24 , determinar uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:23) A 1 , - 1,2 r :e i x oz

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:25) Paralelo ao eixo z e que contenha os pontos A ( 0 ,3 ,4 ) e B ( 2 ,0 ,- 2 ) .