Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios Propostos - Ex. 17

A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. Tem-se: A B → = C D → , C E → = 1 3 C D → , C F → = 1 2 C A → , A G → = 1 2 A B → , x → = E F → , y → = E G → e z → = E B → .

  1. Escreva x → , y → e z → em função de A B → e A C →
  2. Escreva z → em função de x → e y → .

Passo 1

  1. Vamos começar essa questão analisando as informações do enunciado. C E → = 1 3 C D → quer dizer que existem dois vetores com origem em C, um indo até D ( C D → ) e outro até um terço do caminho ( C E → ) e chegando no ponto E. Então E está a um terço do caminho entre C e D. Algo parecido ocorre com C F → = 1 2 C A → mas, nesse caso, o ponto F está a metade do caminho entre C e A. Do mesmo modo, A G → = 1 2 A B → indica que G está a metade do caminho entre A e B. Tudo tranquilo até agora? Então, podemos marcar os pontos E, F e G no paralelogramo e também os vetores ligando eles. Vai ficar mais ou menos assim:

    2. Antes de calcular os vetores x → , y → e z → , temos que notar que, como C E → = 1 3 C D → e A B → = C D → , então C E → = 1 3 A B → . E lembre também que C F → = 1 2 C A → = - 1 2 A C → e A G → = G B → = 1 2 A B → porque vamos precisar desses resultados. Para obter x → , podemos ir de E a F pelo caminho ECF. Nesse caso

    x → = E F → = E C → + C F → = - C E → + C F → = - 1 3 A B → - 1 2 A C →

    O vetor y → sai de E até G, mas também podemos escolher o caminho ECAG. Nesse caso,

    y → = E F → = E C → + C A → + A G → = - C E → - A C → + A G → = - 1 3 A B → - A C → + 1 2 A B → = 1 6 A B → - A C →

    Já o vetor z → sai de E até B. Podemos escolher o caminho EGB, por exemplo:

    z → = E B → = E G → + G B → = 1 6 A B → - A C → + 1 2 A B → = 4 6 A B → - A C → = 2 3 A B → - A C →

    Passo 2

  2. Para escrever z → em função de x → e y → , vamos fazer z → = a x → + b y → , obter um sistema de equações e resolver esse sistema:

z → = 2 3 A B → - A C → = a x → + b y → = a - 1 3 A B → - 1 2 A C → + b 1 6 A B → - A C → = A B → - a 3 + b 6 + A C → - a 2 - b

⇒ - a 3 + b 6 = 2 3

- a 2 - b = - 1

Vamos multiplicar a primeira equação por seis e a segunda por - 4 :

- 2 a + b = 4

2 a + 4 b = 4

Agora, somamos as duas equações e obtemos

5 b = 8 ⇒ b = 8 5

Substituindo esse resultado na primeira equação, obtemos:

- 2 a + 8 5 = 4 ⇒ 2 a = 8 5 - 4 = 8 - 20 5 = - 12 5 ⇒ a = - 6 5

Logo,

z → = - 6 5 x → + 8 5 y →

Resposta

  1. x → = - 1 3 A B → - 1 2 A C → , y → = 1 6 A B → - A C → , z → = 2 3 A B → - A C →
  2. z → = - 6 5 x → + 8 5 y →

Exercícios de Livros Relacionados

No trapézio ABCD, B C → =v → , A D → = 2v → e E é o ponto de interseção das diagonais A C → e B D→ . Sendo B E → = λB D → , determine λ .
ABCD é um paralelogramo de diagonais A C → e B D → . O ponto R é tal que 3 D R → = 2 C D → e S é tal que 2 B S → = S C → .Marque R e S na figura.Escreva R S → em termos de A B → e A D → .
Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. A B→=x→ , A D→=y→ , A P→=1 3 x→ , A Q→= 3 4y→ e F é a interseção de P Q→ e A C→ . Escreva Q F→ em função de x→ e y→ .
Num triângulo ABC temos 3 B P → = 4 P C → e 3 P Q → = 4 Q A → . Localize na figura os pontos P e Q, justificando a resposta.A seguir, expresse A P → e B Q → como combinações lineares de u → = A B → e