No trapézio ABCD, B C     → =   v → , A D     → = 2   v → e E é o ponto de interseção das diagonais A C     → e B D   → . Sendo B E     → = λ   B D → , determine λ .

Passo 1

Fala, galerinha! Espero que estejam animados para mais uma questão.

O enunciado da questão já nos diz que B E     → = λ   B D → . Mas também temos que notar que A E     → = γ   A C → . Daqui a pouco você vai entender porque vamos precisar dessa propriedade. A partir da primeira propriedade, obtemos

B E     → = λ   B D → = λ ( B A → + A D → ) = λ ( - A B → + 2 v → )

Passo 2

Seguindo as informações do enunciado, podemos desenhar a seguinte figura:

Na figura acima, fica claro que

B E     → = B A     → + A E     → = B A     → + γ A C     → = - A B     → + γ ( A B     → + B C     → ) = ( γ - 1 ) A B     → + γ B C     →

⇒ B E     → = ( γ - 1 ) A B     → + γ v     →

Passo 3

Nos itens anteriores, nós obtivemos B E     → de duas formas, que devem ser iguais. Logo,

B E     → = λ ( - A B → + 2 v → ) = ( γ - 1 ) A B     → + γ v     → ⇒ ( 2 λ + γ ) v → = ( γ - 1 + λ ) A B     →

Como v → e A B   → não são paralelos, a igualdade acima só vai ser verdadeira se ambos os lados forem nulos. Para que isso aconteça, é necessário que

2 λ + γ = 0 ⇒ γ = 2 λ

γ - 1 + λ = 0 ⇒ 2 λ - 1 + λ = 3 λ - 1 = 0 ⇒ λ = 1 3

Resposta

λ = 1 3

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