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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios Propostos - Ex. 15

ABCD é um paralelogramo de diagonais A C → e B D → . O ponto R é tal que 3 D R → = 2 C D → e S é tal que 2 B S → = S C → .

  1. Marque R e S na figura.
  2. Escreva R S → em termos de A B → e A D → .

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Mais uma questão para a gente detonar. Vamos começar interpretando os dados do enunciado: 3 D R → = 2 C D → significa que os vetores D R → e C D → são paralelos. Além disso C D → começa em C e termina em D enquanto D R → começa em D e termina em R. Isso indica que R está fora do paralelogramo. Enquanto isso, 2 B S → = S C → indica que S está exatamente entre B e C porque B S → termina em S e S C → começa em S. Além disso,

    2. 3 D R → = 2 C D → ⇒ D R → = 2 3 C D →

    2 B S → = S C → ⇒ B C → = B S → + S C → = B S → + 2 B S → = 3 B S → ⇒ B S → = 1 3 B C → ⇒ S C → = 2 3 B C →

    Assim, vemos que D R → tem dois terços do tamanho de C D → enquanto S está a um terço da distância entre B e C. Com essas informações, podemos desenhar um paralelogramo, identificar os pontos R e S e o vetor ligando os dois:

    Passo 2

  2. Agora queremos escrever R S → em termos de A B → e A D → . Como a figura é um paralelogramo, as distâncias AB e CD são iguais, além do fato desses segmentos serem paralelos. Então, A B → e D C → tem o mesmo módulo, direção e sentido. Isso quer dizer que A B → = D C → , o que vai facilitar bastante os nossos cálculos. O mesmo é válido para A D → e B C → : A D → = B C → . Na figura acima, podemos notar que

R S → = R C → + C S → = R D → + D C → + C S → = - D R → - C D → - S C → = - 2 3 C D → - C D → - S C → = - 5 3 C D → - 2 3 B C →

onde usamos os resultados encontrados no Passo 1. Agora, lembrando que A B → = D C → e A D → = B C → , nós podemos obter

R S → = 5 3 D C → - 2 3 B C → = 5 3 A B → - 2 3 A D → .

Resposta

R S → = 5 3 A B → - 2 3 A D →

Exercícios de Livros Relacionados

Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X 1 = 4,2 , - 3 ,X 2 = 2,1 , - 2 e X 3 = ( - 2 , - 1,0 ) a) 1,1 , 1 ; b) 4,2 , - 6 ; c) - 2 , - 1,1 ; d) - 1,2 , 3 .
Sejam u , v , w vetores tais que v é múltiplo de u mas w não é. Se α u + β v + γ w = 0 , prove que γ = 0eα u + β v = 0 .
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: d) Se u = α , β e v = ( α ' , β ' ) então α β ' - α ' β ≠ 0 .
Prove que a soma dos vetores com origem no centro de um polígono regular e extremidade nos vértices desse polígono é igual a zero.
Dados os vetores u e v , prove que as afirmações seguintes são equivalentes: c) Nenhum dos vetores u e v é múltiplo do outro.