Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 13
Em cada caso, é descrita uma alteração efetuada na tripla LI . Baseando-se na sua intuição, dê um palpite: a sequência obtida após a alteração é também LI? Em seguida, tente provar que seu palpite está correto.
a) Multiplica-se cada um dos três vetores por um escalar .
b) Substitui-se cada um dos três vetores pela soma dos outros dois.
c) Soma-se a cada um dos três vetores um mesmo vetor .
d) Somam-se a e , respectivamente, os vetores LI e .
Passo 1
Bora lá analisar cada uma das afirmativas:
a) Se multiplicarmos os vetores por um escalar , teremos a sequência . Porém, sabemos que um vetor multiplicado por um escalar continua sendo paralelo ao seu vetor original não é? Então, o vetor permanece na mesma direção de , com e com , logo, os vetores continuam sendo LI.
Mas se multiplicarmos por , vamos ter a tripla , que é LD.
Passo 2
b) Sim.
Para que seja LI, temos o sistema:
Onde devemos ter
Agrupando os termos:
Como é LI, temos o sistema:
Cuja única solução é . Logo, o conjunto é LI também!!
Passo 3
c) Não necessariamente a nova sequência vai ser LI. Teríamos , mas nada nos garante que ao somarmos um vetor nos vetores que tínhamos, o resultado não vá ser coplanar, e portanto, LD. No próximo exercício vamos fazer um caso desse beleza?
Passo 4
d) Não necessariamente. Vamos imaginar que esses tais de vetores LI sejam , são vetores LI de acordo com o enunciado né? A diferença é que mudamos o sentido de . Ta, mas aí somando eles na nossa sequência, teríamos:
Opa, temos um vetor nulo aí no meio :O então a sequência se tornou LD, olha que coisa!!
Resposta
a) Se , sim.
b) Sim
c) Nem sempre
d) Nem sempre