Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 24

24. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f 1 x = e x e f 2 x = x e x f 3 x = x 2 e x são linearmente independente em F ( - ∞ , ∞ ) .

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.

Mas o que é o wronskiano?

W x = f 1 x f 2 x … f n x f 1 ´ x f 2 ´ x … f n ´ x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮           f 1 ( n - 1 ) x         f 2 ( n - 1 ) x …       f n ( n - 1 ) x

Que é esse determinante que depende das funções e suas ( n - 1 ) derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções   f 1 ,     f 2 …   f n tiverem n - 1 derivadas continuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano for ≠ 0 nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = e x e f 2 x = x e x f 3 x = x 2 e x . Como temos três funções ( n = 3 ) vamos ter n - 1 = 2 , logo vamos ter apenas a primeira e a segunda derivada.

d f 1 x d x = d d x e x = e x       ;       d 2 f 1 x d x 2 =   d d x d d x = d d x e x = e x                    

Vamos usar a regra do produto para diferenciar f 2 e f 3 .

d d x f ( x ) ⋅ g ( x ) = d   f ( x ) d x ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ d   g ( x ) d x

Para f 2 temos:

d f 2 x d x = d d x x e x = e x + x e x

    d 2 f 2 x d x 2 =   d d x d d x = d d x e x + x e x = e x + e x + x e x = 2 e x + x e x

Para f 3 temos:

d f 3 x d x = d d x x 2 e x = 2 x e x + x 2 e x

    d 2 f 3 x d x 2 =   d d x d d x = d d x 2 x e x + x 2 e x = 2 e x + 2 x e x + 2 x e x + x 2 e x

= 2 e x + 4 x e x + x 2 e x

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

Para resolver o determinante dessa matriz, vamos usar o método de eliminação gaussiana:

W x = e x                   x e x x 2 e x       e x                     e x + x e x 2 x e x + x 2 e x e x             2 e x + x e x             2 e x + 4 x e x + x 2 e x

L 2 ← L 2 - L 1

e x                   x e x x 2 e x   0                     e x 2 x e x e x                 2 e x + x e x             2 e x + 4 x e x + x 2 e x

L 3 ← L 3 - L 1

    e x                   x e x x 2 e x       0                     e x 2 x e x 0                 2 e x             2 e x + 4 x e x

L 3 ← L 3 - 2 L 2

    e x                   x e x       x 2 e x       0                     e x       2 x e x 0           0       2 e x

Logo como chegamos a uma matriz triangular superior, temos que o determinante é:

d e t = e x ⋅ e x ⋅ 2 e x = 2 e 3 x

Logo como: 2 e 3 x ≠ 0 em algum x

Mostramos que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

W x = 2 e 3 x ≠ 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados os vetores a →=( 5 , - 1,0 ) , b →=( 2,0 , 1 ) e c →=( 0,1 , 3 ) , escreva o vetor x→ = ( 2 , - 1 , - 1 ) como combinação linear de a→ , b → e c → .
Os vetores u →=( a , - 1 , b + 1 ) e v →=( 4 , a - 5 ,b - 1 ) são paralelos. determine as coordenadas de u →+v → .
O A →=( 4 , - 3 , - 1 ) , O B →=( - 5,3 , - 7 ) e O C →=( 1 , y , z ) . Determine y e z sabendo que C pertence à reta AB.
Dados os vetores u →=( 1 , - 1,3 ) , v →=( 2,0 , 1 ) e w →=( 3,1 , - 1 ) , determine um vetor x → paralelo a v → e tal que u→ + x → seja paralelo a w → .
No Δ A B C temos A B→ =b → , A C→ =c → , 3 A P→ =2 P C → e B Q→ = λB C → . Determine λ → para que P Q → fique paralelo ao vetor 2 A B→ +A C →+B C → .