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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 25

25. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções f 1 x = sen ⁡ x e f 2 x = cos ⁡ x f 3 x = x cos ⁡ x são linearmente independente em F ( - ∞ , ∞ ) .

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.

Mas o que é o wronskiano?

W x = f 1 x f 2 x … f n x f 1 ´ x f 2 ´ x … f n ´ x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮           f 1 ( n - 1 ) x         f 2 ( n - 1 ) x …       f n ( n - 1 ) x

Que é esse determinante que depende das funções e suas ( n - 1 ) derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções   f 1 ,     f 2 …   f n tiverem n - 1 derivadas continuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano for ≠ 0 nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções f 1 x = sen ⁡ x e f 2 x = cos ⁡ x f 3 x = x cos ⁡ x . Como temos três funções ( n = 3 ) vamos ter n - 1 = 2 , logo vamos ter apenas a primeira e a segunda derivada.

d f 1 x d x = d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x       ;       d 2 f 1 x d x 2 =   d d x d d x = d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x                    

Para f 2 temos:

d f 2 x d x = d d x cos ⁡ x = - sen ⁡ x       ;       d 2 f 2 x d x 2 =   d d x d d x = d d x - sen ⁡ x = - cos ⁡ x

Vamos usar a regra do produto para diferenciar f 3 .

d d x f ( x ) ⋅ g ( x ) = d   f ( x ) d x ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ d   g ( x ) d x

d f 3 x d x = d d x x cos ⁡ x   = cos ⁡ x - x sen ⁡ x  

    d 2 f 3 x d x 2 =   d d x d d x = d d x cos ⁡ x - x sen ⁡ x = - sen ⁡ x - ( sen ⁡ x + x cos ⁡ x )

- sen ⁡ x - sen ⁡ x - x cos ⁡ x = - 2 sen ⁡ x - x cos ⁡ x

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

Para resolver o determinante dessa matriz, vamos usar o método de eliminação gaussiana:

W x = sen ⁡ x cos ⁡ x x cos ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x - x sen ⁡ x   - sen ⁡ x - cos ⁡ x             - 2 sen ⁡ x - x cos ⁡ x

L 2 ← L 2 - cos ⁡ x sen ⁡ x L 1

Para a 22 :

Obs: - sen ⁡ x - cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = - sen ⁡ x - cos 2 ⁡ x sen ⁡ x = - sen 2 ⁡ x   -   cos 2 ⁡ x sen ⁡ x = -   sen 2 ⁡ x   +   cos 2 ⁡ x sen ⁡ x = - 1 sen ⁡ x

Para a 23 :

Obs: cos ⁡ ( x ) - x sen ⁡ ( x ) - cos ⁡ ( x ) sen ⁡   ( x ) ⋅ x cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) - x sen ⁡ ( x ) - x cos 2 ⁡ ( x ) sen ⁡   ( x )

= cos ⁡ ( x ) + - x sen 2 ⁡ ( x ) - x cos 2 ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) + - x sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) + - x sen ⁡ ( x )

sen ⁡ x cos ⁡ x x cos ⁡ x 0 - 1 sen ⁡ x cos ⁡ ( x ) + - x sen ⁡ ( x )   - sen ⁡ x - cos ⁡ x             - 2 sen ⁡ x - x cos ⁡ x

L 3 ← L 3 + L 1

sen ⁡ x cos ⁡ x x cos ⁡ x 0 - 1 sen ⁡ x cos ⁡ ( x ) + - x sen ⁡ ( x )   0 0             - 2 sen ⁡ x

Logo como chegamos a uma matriz triangular superior, temos que o determinante é:

d e t = sen ⁡ x ⋅ - 1 sen ⁡ x ⋅   - 2 sen ⁡ x = 2 sen ⁡ x

Logo como: 2 sen ⁡ x ≠ 0 em algum x

Mostramos que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

W x = 2 sen ⁡ x ≠ 0

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