Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 25

25. Use o teste do wronskiano para mostrar que as funções e são linearmente independente em .

Passo 1

Para resolvermos nosso problema vamos usar o teste do wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.

Mas o que é o wronskiano?

Que é esse determinante que depende das funções e suas derivadas.

Logo o teorema 4.3.4 da 10° edição do livro, nos diz:

Se as funções tiverem derivadas continuas no intervalo e se o wronskiano for nesse intervalo, então as funções formam um conjunto linearmente independente.

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções e . Como temos três funções vamos ter , logo vamos ter apenas a primeira e a segunda derivada.

Para temos:

Vamos usar a regra do produto para diferenciar .

Passo 2

Agora vamos resolver o wronskiano:

Para resolver o determinante dessa matriz, vamos usar o método de eliminação gaussiana:

Para

Obs:

Para :

Obs:

Logo como chegamos a uma matriz triangular superior, temos que o determinante é:

Logo como: em algum

Mostramos que as funções formam um conjunto linearmente independente.

Resposta

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Dados os vetores O A→ = a→ , O B→ = b→ e O C→ = c → tais que 2 A B →-3 B C →+ A C →=0 → , prove que os vetores a→ , b→ e c→ são l.d..

O A →=( 4,1 , - 3 ) , O B →=( 2 , - 1,1 ) , A D → é paralelo a ( 2 , x , 0 ) e D está alinhado com O e B. Determine A D → .

Sejam a→ , b→ e c→ três vetores quaisquer, u→ =a →+b → , v→ = -b →-c → e w→ =a →-c → . Prove que u→ , v→ e w→ são l.d..

Dados a →=( 1,0 , 1 ) , b →=( 1,1 , 2 ) e c →=( 1,2 , 3 ) , pede-se um vetor u → tal que u → e b → sejam l.d. e a→ + u → e c → sejam l.d..

É possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 ) ?Se quatro vetores de V 3 são sempre l.d., como interpretar a resposta da parte a)?