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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 10

10. Mostre que se { v 1 → , v 2 → , v 3 →   } for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são { v 1 → , v 2 → } , { v 1 → , v 3 →   } , { v 2 → , v 3 → } , { v 1 → } , { v 2 → } e { v 3 → } .

Passo 1

Para mostrarmos que { v 1 → , v 2 → , v 3 →   } formam um conjunto linearmente independente, vamos montar a equação:

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0 )

Logo por definição, para que que seja linearmente independente, existe uma única solução, que é a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = 0

Desde que v 1 → , v 2 → , v 3 → sejam diferentes do vetor nulo e não possam ser escritos como combinação linear dos outros dois.

Assim, { v 1 → , v 2 → } , { v 1 → , v 3 →   } , { v 2 → , v 3 → } não podem ser escritos como um múltiplo escalar do outro. O que os torna linearmente independente.

E também por definição: Um conjunto de exatamente um vetor é linearmente independente se, e se só, esse vetor não é o vetor nulo. Portanto { v 1 → } , { v 2 → } e { v 3 → } são conjuntos linearmente independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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É dado um triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que X B → = 4X A → . Sejam A B → = b → e A C → = c → Determine o vetor C X → em função de b → e c → .Seja M o ponto médio de C X → . Escreva B M
No trapézio ABCD, B C → =v → , A D → = 2v → e E é o ponto de interseção das diagonais A C → e B D→ . Sendo B E → = λB D → , determine λ .
ABCD é um paralelogramo de diagonais A C → e B D → . O ponto R é tal que 3 D R → = 2 C D → e S é tal que 2 B S → = S C → .Marque R e S na figura.Escreva R S → em termos de A B → e A D → .
Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. A B→=x→ , A D→=y→ , A P→=1 3 x→ , A Q→= 3 4y→ e F é a interseção de P Q→ e A C→ . Escreva Q F→ em função de x→ e y→ .