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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 3

3. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 4 são linearmente dependentes?

(a) 3 ,   8 ,   7 , - 3 ,     1 ,   5 ,   3 , - 1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   6 ,   ( 1 ,   4 ,   0 ,   3 )

(b) 0 ,   0 ,   2 ,   2 ,     3 ,   3 ,   0,0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1  

(c) 0 ,   3 ,   - 3 , - 6 ,     - 2 ,   0 ,   0 , - 6 ,   0 ,   - 4 ,   - 2 ,   - 2 ,   ( 0 ,   - 8 ,   4 ,   - 4 )

(d)   3 ,   0 ,   - 3 ,   6 ,     0 ,   2 ,   3 ,   1 ,   0 ,   - 2 ,   - 2 ,   0   ,   ( - 2 ,   1 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos analisar cada alternativa e seu conjunto de vetores.

(a)   3 ,   8 ,   7 , - 3 ,     1 ,   5 ,   3 , - 1 ,   2 ,   - 1 ,   2 ,   6 ,   ( 1 ,   4 ,   0 ,   3 )

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 3 ,   8 ,   7 , - 3 + k 2 1 ,   5 ,   3 , - 1 + k 3 2 ,   - 1 ,   2 ,   6 + k 4 ( 1 ,   4 ,   0 ,   3 ) = ( 0,0 , 0,0 )

3 k 1 ,   8 k 1 ,   7 k 1 , - 3 k 1 + k 2 ,   5 k 2 ,   3 k 2 , - k 2 + 2 k 3 ,   - k 3 ,   2 k 3 ,   6 k 3 + ( k 4 ,   4 k 4 ,   0 ,   3 k 4 ) = ( 0,0 , 0,0 )

3 k 1 + k 2 + 2 k 3 + k 4 ,   8 k 1 + 5 k 2 + - k 3 + 4 k 4 , 7 k 1 + 3 k 2 + 2 k 3 , - 3 k 1   - k 2 + 6 k 3 + 3 k 4 = ( 0,0 , 0,0 )

Resolvendo o sistema:

            3 k 1 + k 2 + 2 k 3 + k 4 = 0 8 k 1 + 5 k 2 + - k 3 + 4 k 4 = 0                           7 k 1 + 3 k 2 + 2 k 3 = 0   - 3 k 1   - k 2 + 6 k 3 + 3 k 4 = 0

Escrevendo de forma matricial:

    3       1       2 1       8       5 - 1 4       7       3       2 0 - 3 - 1       6 3 × k 1 k 2 k 3 k 4 = 0 0 0 0

Como temos uma matriz de coeficientes quadrada, denotada por A , podemos obter a solução desse sistema pela regra de Cramer.

Logo o determinante dessa matriz:

det ⁡ A = a ; onde a ≠ 0

Agora vamos substituir a cada coluna da matriz A pela coluna de termos independentes, obtendo novas matrizes e calculando os determinante Δ n dessas matrizes, veja só:

Δ 1 =       0       1       2 1       0       5 - 1 4       0       3       2 0       0 - 1       6 1 = 0 ; Δ 2 =     3       0       2 1       8       0 - 1 4       7       0       2 0 - 3       0       6 1 = 0 ; ....

Como todas as novas matrizes vão ter uma coluna nula, os determinantes vão ser zeros.

Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 4 = 0

Solução pela regra de Cramer vai ser:

k 1 = Δ 1 det ⁡ a ; k 2 = Δ 2 det ⁡ a ; k 3 = Δ 3 det ⁡ a ; k 4 = Δ 4 det ⁡ a

k 1 = Δ 1 det ⁡ a = 0 128 = 0

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 2

(b) 0 ,   0 ,   2 ,   2 ,     3 ,   3 ,   0,0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 0 ,   0 ,   2,2 + k 2 3 ,   3 ,   0,0 + k 3 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 = ( 0,0 , 0,0 )

0 ,   0 ,   2 k 1 , 2 k 1 + 3 k 2 ,   3 k 2 ,   0,0 + k 3 ,   k 3 ,   0 ,   - k 3 = ( 0,0 , 0,0 )

3 k 2 + k 3   ,   3 k 2 + k 3   ,   2 k 1 , 2 k 1 - k 3 = ( 0,0 , 0,0 )

Resolvendo o sistema:

3 k 2 + k 3 = 0 3 k 2 + k 3 = 0   2 k 1 = 0 2 k 1 - k 3

Do sistema temos que:

k 1 = 0

k 3 = 2 k 1 = 0

3 k 2 = - k 3 = 0

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 3

(c) 0 ,   3 ,   - 3 , - 6 ,     - 2 ,   0 ,   0 , - 6 ,     0 ,   - 4 ,   - 2 ,   - 2 ,     ( 0 ,   - 8 ,   4 ,   - 4 )

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 0 ,   3 ,   - 3 , - 6 + k 2 - 2 ,   0 ,   0 , - 6 + k 3 0 ,   - 4 ,   - 2 ,   - 2 + k 4 ( 0 ,   - 8 ,   4 ,   - 4 ) = ( 0,0 , 0,0 )

Logo da mesma forma que no passo 1, vamos ter uma matriz quadrada de coeficientes e poderemos aplicar a regra de cramer, e obter a mesma solução. Pois:

det ⁡ A = a ; onde a ≠ 0

E como todas as novas matrizes vão ter uma coluna nula, os determinantes vão ser zeros.

Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 4 = 0

Solução pela regra de Cramer vai ser:

k 1 = Δ 1 det ⁡ a ; k 2 = Δ 2 det ⁡ a ; k 3 = Δ 3 det ⁡ a ; k 4 = Δ 4 det ⁡ a

k 1 = Δ 1 det ⁡ a = 0 a = 0

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 4

(d)   3 ,   0 ,   - 3 ,   6 ,     0 ,   2 ,   3 ,   1 ,   0 ,   - 2 ,   - 2 ,   0   ,   ( - 2 ,   1 ,   2 ,   1 )

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 3 ,   0 ,   - 3 ,   6   + k 2 0 ,   2 ,   3 ,   1 + k 3 0 ,   - 2 ,   - 2 ,   0 + k 4 ( - 2 ,   1 ,   2 ,   1 ) = ( 0,0 , 0,0 )

Da mesma forma que no passo 1 e 3, vamos ter:

ter uma matriz quadrada de coeficientes e poderemos aplicar a regra de cramer, e obter a mesma solução.

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Resposta

Nenhum conjunto é linearmente dependente.

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