Mostre que se S   =   { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v r } for um conjunto linearmente dependente de vetores num espaço vetorial V e se v r + 1 ,   .   .   .   ,   v n forem vetores quaisquer em V que não estão em S , então { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v r   ,   v r + 1 ,   .   .   .   ,   v n } também é linearmente dependente.

Passo 1

Vamos lá! Se S   =   { v 1 ,   v 2 … ,   v r } é linearmente dependente nós temos uma solução não trivial, para nossa equação:

k 1 v 1 + k 2 v 2 … + k n v n = 0

O que nos indica que k 1 , k 2 , … k n ≠ ( 0 ,   0 , … 0 ) .

Passo 2

Agora vamos fazer um conjunto R = { v 1 ,   v 2 , …   v r , v r + 1 , … v n } , que é linearmente independente que como sabemos só aceita a solução trivial, tal que:

a 1 v 1 + a 2 v 2 , … a r v r + a r + 1 v r + 1 , a n v n = 0

Se nós fizermos a r + 1 , a r + 2 , … a n = 0 , podemos reescrever nosso conjunto R como:

k 1 v 1 + k 2 v 2 … + k n v n + 0 … + 0 = 0

Como foi dito acima temos que   k 1 , k 2 , k 3 , … k n ≠ ( 0 ,   0 ,   0 , … 0 ) ..

Logo esse sistema não aceita somente a solução trivial, assim o conjunto R é linearmente dependente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados