Mostre que se { v 1 ,   v 2 } for um conjunto linearmente independente e se v 3 não pertencer a g e r v 1 ,   v 2 , então { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é linearmente independente.

Passo 1

Vamos lá! Se { v 1 ,   v 2 } é linearmente independente nós não podemos escrever v 2 como função de v 1 e vice versa, assim só nos resta a solução trivial:

k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0

O que nos indica que k 1 , k 2 = ( 0 ,   0 ) , sendo v 1 e v 2 não nulos.

Passo 2

Agora vamos fazer um conjunto R = { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } , que é linearmente dependente que como sabemos não só aceita a solução trivial, temos:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0

Se nós fizermos k 3 ≠ 0 , podemos reescrever nosso conjunto R como:

v 3 = k 1 v 1 k 3 + k 2 v 2 k 3

Como foi dito no enunciado temos que   v 3 ∉ g e r v 1 ,   v 2 .

Isso quer dizer que a única resposta possível que nós encontramos, que faria o conjunto R ser linearmente dependente não é válida, isso quer dizer que R é Linearmente Independente.

Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados