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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 1g

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 .

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x + y - z , x + 2 y , z )

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.

Para construir a matriz de transformação, temos que

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   1 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( 1 ,   2 ,   0 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Assim,

T = 1 1 - 1 1 2 0 0 0 1

Note que

det ⁡ T = 1 ⋅ 2 - 1 ⋅ 1 - 1 ⋅ 0 = 1 ≠ 0

Portanto, [ T ] admite inversa e T é invertível.

Passo 2

Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de [ T ] . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.

1 1 - 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a segunda linha por - 1 e somando com a primeira:

1 1 - 1 0 - 1 - 1 0 0 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 1

Agora, somando a segunda linha com a terceira:

1 1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 1 0 0 1 - 1 1 0 0 1

Somando a primeira linha com a terceira:

1 1 0 0 - 1 0 0 0 1 1 0 1 1 - 1 1 0 0 1

Somando a primeira linha com a segunda:

1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 2 - 1 2 1 - 1 1 0 0 1 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 - 1 2 - 1 1 - 1 0 0 1

Assim, a matriz inversa é

T - 1 = 2 - 1 2 - 1 1 - 1 0 0 1

Passo 3

Assim, a transformação inversa é dada por

2 - 1 2 - 1 1 - 1 0 0 1 ⋅ x y z = 2 x - y + 2 z - x + y - z z

Portanto,

T - 1 x , y , z = 2 x - y + 2 z , - x + y - z , z

Resposta

T - 1 x , y , z = 2 x - y + 2 z , - x + y - z , z

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A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x , x - z , x -
Mostrar que o operador linear, no R 3 , definido pela matriz 1 2 3 2 3 4 3 5 7 não é inversível. Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( 6 ,9 ,15 ) .
Consideremos as seguintes bases do R 2 : A = { 1 ,1 ,0 , - 1 } e B = 2 , - 3 ,- 3 ,5 .a) Determinar a matriz-mudanção de base I B A .b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v
Consideremos as seguintes bases do R 2 : A = { 3 , - 1 ,1 , - 2 } e B = 3 ,2 ,2 ,2 .a) Determinar a matriz-mudanção de base I B A .b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B , sendo v A
Sejam B = { 1 ,0 ,0 ,1 } , B 1 = { 1 ,1 , - 1 ,0 } , B 2 = { ( - 1 ,1 ) ,2 , - 3 } e B 3 = { 2 ,1 , - 5 , - 1 } , bases do R 2 .a) Determinar as matrizes-mudança de base: I B B 1 , I B 1 B , I B B 2 ,