Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 8
Consideremos as seguintes bases do : e .
a) Determinar a matriz-mudanção de base .
b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular , sendo .
c) Determinar a matriz-mudança de base de para .
Passo 1
O problema fornece duas bases do : e e pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre elas.
No item (a), devemos encontrar a matriz que representa a mudança de para . Para isso, você deve lembrar que as colunas da matriz são os vetores da base escritos na base . Para isso, vamos proceder da seguinte forma:
Assim,
Da primeira equação, tiramos
Substituindo na segunda:
Portanto,
Essa será a primeira coluna da matriz de transformação. Analogamente,
Desta forma,
Da primeira equação obtemos . Substituindo na segunda:
Assim,
Portanto, a matriz de mudança de base será
Passo 2
No item (b) queremos escrever o vetor na base . Para isso, basta aplicar a matriz de mudança de base:
Portanto,
Passo 3
Por fim, no item (c) queremos a matriz de mudança de base de para . Para isso, basta inverter a matriz do item (a):
Vamos fazer isso usando o truque de inversão das matrizes :
Assim,
Portanto,