Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 3
Mostrar que o operador linear, no , definido pela matriz
não é inversível. Determinar tal que .
Passo 1
O problema fornece um operador linear e sua matriz de transformação na base canônica e pede para mostrarmos que ele não é inversível. Para isso, basta mostrar que o determinante é nulo:
Como o determinante é nulo, a matriz não é invertível e o operador não admite inversa.
Passo 2
Agora queremos achar tal que . Como a matriz não é invertível, temos que resolver o sistema para achar :
Assim,
Note que a terceira equação é a soma das duas primeiras, de modo que podemos descarta-la:
Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda:
Logo,
Da segunda equação, tiramos
Substituindo na primeira:
Portanto,
Resposta
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Seja V um espaço vetorial euclidiano . Se uϵV ,W = [ u ] e E é a transformação linear que associa a cada vetor de V sua projeção ortogonal sobre W, mostre que: v - E ( v ) ≤ v - w ,∀vϵVe∀wϵW
Seja T : V → V um operador normal em um espaço com produto interno. Mostre que:a) N T = N ( T * ) .b) Se V e de dimensão finita, então L T = L T * .
Um operador T : V → V em um espaço com produto interno tal que T V = | | V | | , para todo V ∈ V é chamado operador unitário, se o espaço vetorial V é complexo e operador ortogonal se o espaço vetoria
Seja V um espaço vetorial complexo. Mostre que um operador T : V → V é normal se, e somente se, existe um polinômio p tt a lq u eT * = p ( t ) .
Seja V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita. Seja w um subespaço de w . Mostre que a projeção ortogonal em w , P : V → V , P V = p r o j w V , é um operador auto adjunto.