Mostrar que o operador linear, no R 3 , definido pela matriz

1 2 3 2 3 4 3 5 7

não é inversível. Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( 6 ,   9 ,   15 ) .

Passo 1

O problema fornece um operador linear T e sua matriz de transformação na base canônica e pede para mostrarmos que ele não é inversível. Para isso, basta mostrar que o determinante é nulo:

det ⁡ T = 1 2 3 2 3 4 3 5 7 = 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 0

Como o determinante é nulo, a matriz não é invertível e o operador não admite inversa.

Passo 2

Agora queremos achar v = ( x , y , z ) tal que T x , y , z = ( 6 ,   9 ,   15 ) . Como a matriz não é invertível, temos que resolver o sistema para achar v :

1 2 3 2 3 4 3 5 7 ⋅ x y z = 6 9 15

Assim,

x + 2 y + 3 z = 6 2 x + 3 y + 4 z = 9 3 x + 5 y + 7 z = 15

Note que a terceira equação é a soma das duas primeiras, de modo que podemos descarta-la:

x + 2 y + 3 z = 6 2 x + 3 y + 4 z = 9

Multiplicando a primeira equação por - 2 e somando com a segunda:

- 2 x - 4 y - 6 z + 2 x + 3 y + 4 z = - 12 + 9 ⇒ - y - 2 z = - 3

Logo,

x + 2 y + 3 z = 6                       y + 2 z = 3

Da segunda equação, tiramos

y = 3 - 2 z

Substituindo na primeira:

x + 6 - 4 z + 3 z = 6 ⇒ x = z

Portanto,

v = z ,   3 - 2 z , z

Resposta

v = z ,   3 - 2 z , z

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