Mostrar que o operador linear, no , definido pela matriz
não é inversível. Determinar tal que .
Passo 1
O problema fornece um operador linear e sua matriz de transformação na base canônica e pede para mostrarmos que ele não é inversível. Para isso, basta mostrar que o determinante é nulo:
Como o determinante é nulo, a matriz não é invertível e o operador não admite inversa.
Passo 2
Agora queremos achar tal que . Como a matriz não é invertível, temos que resolver o sistema para achar :
Assim,
Note que a terceira equação é a soma das duas primeiras, de modo que podemos descarta-la:
Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda:
Logo,
Da segunda equação, tiramos
Substituindo na primeira:
Portanto,